Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

интегрирование / Лекция5-6.Интегрирование иррациональных функций.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

236.74 Кб

Скачать

☆

Лекция 5-6. Интегрирование иррациональных функций

Некоторые часто встречающиеся интегралы от иррациональных функций можно вы- числить методом р а ц и о н а л и з а ц и и подынтегральной функции. Этот метод заклю- чается в отыскании подстановки, которая преобразует интеграл от иррациональной функции в интеграл от рациональной функции.

Будем обозначать в дальнейшем символом R(u; v; : : : ; w) рациональную функцию относительно конечного числа переменных u; v; : : : ; w.

5.1.Интегрирование простейших иррациональностей

Теорема 5.1.1. Интегралы вида


		ax + b		r1		ax + b	rs
Z	R x;			; : : : ;				dx;
Z	R x;	cx + d		; : : : ;		cx + d		dx;
где постоянные r1; : : : ; rs	рациональны, a; b; c; d действительны и ad bc 6= 0, подста-
новкой			ax + b
			ax + b		= tm
			cx + d		= tm
			cx + d

приводятся к интегралу от рациональной функции, если m общий знаменатель рациональных чисел r1; : : : ; rs.

Доказательство читайте в [2] íà ñòð. 361. Пример 5.1. Примеры смотрите в [2] íà ñòð. 361-362.

5.2.Интегрирование квадратичных иррациональностей

5.2.1. Простейшие квадратичные иррациональности

Рассмотрим частные случаи интегралов вида

R x; p

dx;

a 6= 0; b2 4ac 6= 0:

ax2 + bx + c

(5.1)

Для вычисления интеграла

pax2 + bx + c

I1 = Z

(5.2)

выделяется полный квадрат под знаком радикала

x + 2ba

k2!

ax2 + bx + c = a x + 2ba

+ a

4ba2 !

= a

и в случае, когда подкоренное выражение положительно на некоторм интервале, применяется подстановка

x +	b	= t; dx = dt:
	2a

В результате этот интеграл сводится к табличному:

= pa Z

pt2

k2 ïðè

a > 0 èëè I1 = p1 a Z

pk2

t2 ïðè a < 0:

При вычислении интеграла

pax2 + bx + c

(5.3)

(Ax + B) dx

выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и интеграл (5.3) представляется в виде суммы двух интегралов:

= Z

+ B

I1 =

(Ax + B) dx

(2ax + b) + B

(2ax + b) dx

dx =

ax2 + bx + c

A d (ax2 + bx + c)

+ B

I1 =

pax2 + bx + c + B

ax2 + bx + c

Вычисление интеграла Z

xpax2 + bx + c сводится к вычислению интеграла (5.2) ïîä-

становкой

dx =

x =

;

Пример 5.2.

8èëè

= sgn x

x 2

(1; 1)

x =

>dx =

Z x

3x2 + 2x

1 1

<x 2 (1=3; +1)

r3 + 2x

;

Z t2p3 + 2t t2

Z p4 (t 1)2

= sgn x

t dt

sgn x

d(t

= sgn x arccos

t 1

+ C =

=sgn x arccos 1 2xx:

5.2.2.Тригонометрические подстановки

Квадратный трехчлен ax2 + bx + c путем выделения полного квадрата и линейной

замены x+ 2ba = u может быть представлен виде a (u2 k2) èëè a (k2 u2). Таким образом, интеграл вида (5.1) сводится к одному из интегралов вида

R u; p

du;

R u; p

du;

R u; p

du:

k2 u2

k2 + u2

u2 k2

(5.4)

Эти интегралы с помощью соответствующих тригонометрических подстановок

u = k sin t (u = k cos t);

u = k tg t (u = k ctg t);

u =

(u =

)

cos t

sin t

сводятся к интегралам от рациональных функций относительно

sin t и cos t, которые ин-

тегрируются1 в элементарных функциях.

1Подстановки, приводящие интеграл от функции, рационально зависящей относительно sin t и cos t к интегралу от рациональной функции, будут рассмотрены в лекции 7.

Пример 5.3. В лекции 2 приводилось вычисление интеграла

x2 dx с помощью

тригонометрической подстановки x = a sin t.

Пример 5.4.

x 2 ( 1; 0)

a tg t; dx =

a dt

cos2 t

èëè

+ x

(

; 0) èëè t

(0;

)

t (a tg t)

acos t

(0; +

)

cos

= <

;

Z (sin t) 4d (sin t) Z (sin t) 2d (sin t) =

cos3 tdt

sin2 t)d (sin t)

sin4 t

3 sin3 t

sin t

+ C:

Верн¼мся к исходной переменной x = a tg t;

t 2 ( 2 ; 0) èëè t 2 (0; 2 ). Имеем

sin t =

sgn t

sgn x

sgn xjxj

Таким образом,

p1 + ctg2 t

q1 + xa22

pa2 + x2

a2 + x2

+ C =

2x2 a2 + C:

x4p

a2 + x2

a4x

3x2

3a4x3

a2 + x2

5.2.3.Подстановки Эйлера

Теорема 5.2.1. Интегралы вида (5.1) могут быть сведены к интегралам от рациональных функций п о д с т а н о в к а м и Э й л е р а:

1.pax2 + bx + c = xpa t, åñëè a > 0; p

2.ax2 + bx + c = (x x1)t; åñëè x1 простой действительный корень квадратного

трехчлена ax2 + bx + c;

3. pax2 + bx + c = pc xt, åñëè c > 0.

Знаки в правых частях равенств можно брать в любых комбинациях.

Доказательство. Первый случай читайте в [2] на стр. 363; второй случай смотрите

â[1] на стр. 237 238, начиная с формулы (7.68); доказательство третьего случая читайте

â[2] íà ñòð. 365.

Пример 5.5. Смотрите примеры 1,2 в [1] на стр. 238-239. Рационализируем подынте-

гральное выражение

p dx

1 + 1 2x x2

примера 2, рассмотренного в [1], с помощью третьей подстановки Эйлера (это возможно,

òàê êàê c = 1) p

1 2x x2 = 1 + xt:

Возводя в квадрат обе части этого равенства, после элементарных преобразований полу- чим

x = 2

t 1

)

dx =

t2 2t 1

dt:

t2 + 1

(t2 + 1)2

Таким образом,

t2 2t 1

dt:

1 + p1 2x x2

t(t 1)(t2 + 1)

Полученный интеграл от рациональной функции вычислите самостоятельно.

Хотя подстановки Эйлера всегда рационализируют интеграл (5.1), но обычно эти подстановки приводят к весьма громоздким и сложным выкладкам. Ввиду этого на практике часто пользуются другими способами вычисления интеграла (5.1).

5.2.3. Интегралы вида Z

pax2 + bx + c

Pn(x) dx

Теорема 5.2.2. Интегралы вида

pax2 + bx + c

Pn(x) dx

можно вычислить с помощью формулы

pax2 + bx + c;

pax2 + bx + c = Pn 1

(x)pax2 + bx + c + Z

Pn(x) dx

ãäå Pn 1(x) многочлен степени не выше, чем n 1, некоторое число.

Доказательство. Читайте [2] стр. 369 370. Пример 5.6. Смотрите пример на стр. 241 в [1].

элементарными функциями. При n = 3, np= 4 их называют э л л и п т и ч е с к и м и, если
Замечание 5.1. Интегралы вида	R x; Pn(x) при n > 2, вообще говоря, не являются

они не выражаются через элементарные функции; в противном случае п с е в д о э л - л и п т и ч е с к и м и.

5.3.Интегралы от дифференциального бинома: подстановки Чебыш¼ва

Выражение

xm (a + bxn)p dx (a 6= 0; b 6= 0)

(5.5)

называется дифференциальным биномом (или биномиальным дифференциалом). Будем рассматривать случай, когда a; b действительные, m; n; p рациональные числа.

Теорема 5.3.1. Интеграл от дифференциального бинома (5.5) допускает рационализирующую подстановку в следующих трех случаях:

1.åñëè p 2 Z, то применяется подстановка x = ts, где s общий знаменатель дробей m и n;

2.	åñëè		m + 1	2 Z, то используется подстановка a + bxn = ts, ãäå s знаменатель

			n
	дроби p;
3.	åñëè	m + 1		+p 2 Z, то применяется подстановка ax n +b = ts, ãäå s знаменатель

			n

дроби p.

Доказательство читайте в [1] íà ñòð. 235.

Пример 5.7. Смотрите примеры на стр. 236 в [1].

Теорема 5.3.2 (Теорема Чебыш¼ва). Неопределенный интеграл от дифференциального бинома (5.5) не выражается через элементарные функции при любых m; n; p, кроме слу-

чаев, когда одно из чисел p, m + 1, m + 1 + p целое. n n

Без доказательства.

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

Соседние файлы в папке интегрирование

#
27.03.2015323.1 Кб63Лекция18.Классы квадрируемых фигуры.pdf
#
27.03.2015248.66 Кб64Лекция19.Объем кубируемого тела.pdf
#
27.03.2015196.04 Кб59Лекция2.Методы интегрирования.pdf
#
27.03.2015313 Кб72Лекция20.Тело вращения.pdf
#
27.03.2015188.06 Кб62Лекция3-4.Интегрирование рациональных функций.pdf
#
27.03.2015236.74 Кб68Лекция5-6.Интегрирование иррациональных функций.pdf
#
27.03.2015125.55 Кб66Лекция7.Интегрирование некоторых трансцендентных выражений.pdf
#
27.03.2015183.94 Кб56Лекция8.Понятие определенного интеграла.Необходимое условие интегрируемости.pdf
#
27.03.2015283.43 Кб94Лекция9.Суммы Дарбу и их свойства.pdf