Лекция 19. Объем кубируемого тела

Основные определения и утверждения настоящей лекции аналогичны соответствующим определениям и утверждениям лекции 17. Это позволяет нам ограничиться основными формулировками.

19.1.Понятие кубируемого тела

" - о к р е с т н о с т ь ю т о ч к и A в трехмерном пространстве будем называть множество всех тех точек пространства, которые расположены внутри шара радиуса " с центром в точке A.

Точку A называют в н у т р е н н е й точкой произвольного множества T точек пространства, если найдется " > 0 такое, что "-окрестность точки A целиком принадлежит множеству T.

Точку A называют граничной точкой произвольного множества T точек пространства, если в любой "-окрестности точки A найдутся как точки, принадлежащие множеству T, так и не принадлежащие T. Совокупность всех граничных точек множества называет-

ся г р а н и ц е й этого множества.

Множество точек в трехмерном пространстве называется о г р а н и ч е н н ы м, если существует шар, содержащий все точки этого множества.

Т е л о м T будем называть любое ограниченное множество точек в трехмерном про-

странстве.

Среди всех тел выделим так называемые м н о г о г р а н н и к и (точнее тр¼хмерные многогранники) тела, граница которых представляет собой совокупность конечного чис-

ла плоских многоугольников в тр¼хмерном евклидовом пространстве (рис. 1), такую, что:

1.каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2.от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Рис. 1: Многогранники: додекаэдр, тетраэдр.

Эти многоугольники называются г р а н я м и, их стороны р ¼ б р а м и, а их вершиныв е р ш и н а м и многогранника.

Объем любого многогранника можно найти, разбив его на непересекающиеся тетраэдры1 (без общих внутренних точек) (рис. 2). Из курса средней школы известна основная

1Тетраэдр простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

1

Рис. 2: Многогранник, разбитый на непересекающиеся тетраэдры.

формула для вычисления объ¼ма тетраэдра (треугольной пирамиды) (рис. 3):

V = 13Sh;

где S площадь любой грани, а h опущенная на нее высота.

Рис. 3: Тетраэдр.

Рассмотрим произвольное тело T, а также всевозможные многогранники P , содержащиеся в T и всевозможные многогранники Q, содержащие T.

Обозначим объемы вписанного и описанного многогранников соответственно jP j и jQj. Ясно, что объем любого вписанного в тело T многогранника не больше объема любого описанного вокруг тела T многогранника:

jP j jQj:

Следовательно, fjP jg числовое множество объемов всех вписанных в тело T многогранников ограничено сверху (объемом любого описанного вокруг тела T многогранника),

2

а fjQjg числовое множество объемов всех описанных вокруг тела T многогранников ограничено снизу (объемом любого вписанного в тело T многогранника). Как известно2,

всякое непустое, ограниченное сверху (снизу) множество, имеет точную верхнюю (точную нижнюю) грань.

Назовем в н е ш н и м о б ъ е м о м тела T точную нижнюю грань числового множества fjQjg объемов всех многогранников Q, содержащих T, т. е. число

V = inf fjQjg:

Q T

Аналогично назовем в н у т р е н н и м о б ъ е м о м тела T точную верхнюю грань числового множества fjP jg объемов всех многогранников P , содержащихся в T, т. е. число

V = supfjP jg:

P T

Из этих определений вытекает

Утверждение 19.1.1. Внутренний объем тела T не больше внешнего объема:

V V

Доказательство провести самостоятельно аналогично доказательству утверждения 17.1.1.

Определение 19.1. Тело T называется к у б и р у е м ы м (или имеющим объем), если внешний объем V этого тела совпадает с его внутренним объемом V . При этом число

V = V = V

называется о б ъ е м о м т е л а T (по Жордану).

19.2.Критерии кубируемости

В полной аналогии с теоремой 17.2.1 доказывается следующее утверждение.

Теорема 19.2.1. Для кубируемости тела T необходимо и достаточно, чтобы для любого " нашлись такой содержащийся в T многогранник P и такой содержащий T многогранник Q, для которых jQj jP j < ".

Теорема 19.2.1 допускает простое, но важное обобщение: в ее формулировке вместо многогранников P и Q могут быть взяты произвольные кубируемые тела TP è TQ, óäî- влетворяющие всем другим условиям этой теоремы. Именно справедлива теорема.

Теорема 19.2.2. Для кубируемости тела T необходимо и достаточно, чтобы для лю-

áîãî " нашлось такое содержащееся в T кубируемое тело TP и такое содержащее T кубируемое тело TQ, для которых jTQj jTPj < ".

Определение 19.2. Будем говорить, что граница @T тела T и м е е т о б ъ е м , р а в - н ы й н у л ю , если для любого положительного " можно указать такой описанный вокруг тела T многогранник Q и такой вписанный в тело T многогранник P , разность объемов которых меньше ": jQj jP j < ".

При этом теорему 19.2.1 можно сформулировать следующим образом.

2Семестр I, лекция 3.

3

Теорема 19.2.3. Для того чтобы тело T было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы его граница @T имела объем, равный нулю.

Если Q многогранник, взятый вместе с границей и содержащий тело T, а P многогранник, содержащийся в T, взятый без границы, то разность множеств QnP представ-

ляет собой многогранное тело, взятое вместе с границей и содержащее все точки границы @T тела T. В силу свойства аддитивности объема многогранника справедливо равен-

ство jQ n P j = jQj jP j, тогда теорему 19.2.1 можно также сформулировать следующим образом.

Теорема 19.2.4. Для того чтобы тело T было кубируемо, необходимо и достаточно, чтобы его граница @T могла быть помещена в многогранное тело сколь угодно малого объема.

Замечание 19.1. В формулировке теоремы 19.2.4 вместо многогранного тела можно взять произвольное кубируемое тело, удовлетворяющее всем другим условиям этой теоремы.

Определение 19.3. Множество точек пространства назовем м н о ж е с т в о м о б ъ е м а н у л ь, если оно содержится в могогранном теле сколь угодно малого объема.

19.3.Объем цилиндрического тела

Öи л и н д р и ч е с к о й п о в е р х н о с т ь ю называется поверхность, образуемая прямой линией (образующей цилиндрической поверхности), которая движется, оставаясь параллельной заданному направлению и скользя по заданной кривой (направляющей цилиндрической поверхности).

Öи л и н д р и ч е с к и м т е л о м будем называть тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.

Рис. 4: Цилиндрическое тело и прямая призма.

Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры , называемые о с н о в а н и я м и цилиндрического тела, а расстояние h между

основаниями цилиндрического тела называется его в ы с о т о й (рис.4).

Если основание цилиндрического тела многоугольник, то такое тело является многогранником, называемым п р я м а я п р и з м а (рис.4), и его объем известен: V = j jh. Здесь j j площадь основания , h высота призмы.

Справедлива следующая

Теорема 19.3.1. Если основанием цилиндрического тела T является плоская квадрируемая фигура , то тело T кубируемо, причем объем V = jTj этого тела равен

ãäå j j площадь основания , h высота цилиндрического тела.

4

Доказательство. Поскольку плоская фигура квадрируема, то для любого " > 0 можно указать такие описанный и вписанный в эту фигуру многоугольники Q и P , что

jQj jP j < h" :

Объемы многогранников (призм) TQ è TP , основанием которых служат многоугольники Q и P , и высота которых равна h, равны соответственно jQjh и jP jh. Поэтому

jQjh jP jh = (jQj jP j)h < h" h = ":

Так как многогранникTQ содержит T а многогранникTP содержится в T, то в силу теоремы 19.2.1 тело T кубируемо. Поскольку jP j j j jQj, а, значит,

jP jh j jh jQjh è jP jh jTj jQjh:

Поэтому

0 jTj j jh 0;

и объем цилиндрического тела T определяется формулой (19.1). Теорема доказана.

5