Лекция 2. Методы интегрирования

2.1.Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании линейных свойств неопределенного интеграла, называется н е п о с р е д с т в е н н ы м и н т е г р и р о в а н и е м.

2.2.Метод разложения

Если подынтегральную функцию удается представить в виде суммы функций, неопределенные интегралы от которых являются табличными, то этот способ интегрирования называется м е т о д о м р а з л о ж е н и я.

Пример 2.3.

2.3.Замена переменной интегрирования

Теорема 2.3.1 (Поднесение под знак дифференциала) . Пусть известен неопределенный интеграл от функции f(') на интервале1 ( ; ):

Z

f(') d' = F (') + C:

Если на интервале (a; b) определена дифференцируемая функция ' = '(x) со значениями в интервале ( ; ) ( < ' < ), то неопределенный интеграл от функции f('(x))'0(x) на интервале (a; b) находится медодом поднесения под знак дифференциала:

Z Z

f('(x))'0(x) dx = f(') d' = F ('(x)) + C: (2.1)

Доказательство. Найдем дифференциал правой часть равенства (2.1), воспользовавшись свойством инвариантности формы первого дифференциала:

d(F ('(x)) + C) = dF ('(x)) = F 0(')d':

Так как функция F (') является первообразной для функции f(') на интервале ( ; ), и ' = '(x) дифференцируема на (a; b), то

F 0(')d' = f(')d' = f('(x))'0(x) dx; x 2 (a; b):

1Согласно замечанию 1.1 в лекции 1 вместо интервала здесь и далее может быть отрезок или полуинтервал.

1

Все это означает, что (F ('(x)) + C)0 = f('(x))'0(x) и функции множества F ('(x)) + C являются первообразными для функции f('(x))'0(x) на (a; b), что и требовалось доказать.

Теорема 2.3.2 (Метод подстановки). Пусть известен неопределенный интеграл от функции f('(t))'0(t) на интервале ( ; ):

Z

f('(t))'0(t) dt = G(t) + C; (2.2)

где '(t) непрерывно дифференцируемая функция на ( ; ) со значениями в интервале (a; b), имеющая обратную функцию t = ' 1, определенную на (a; b). Тогда неопределенный интеграл от функции f(x) на интервале (a; b) можно найти с помощью п о д с т а н о в - к и x = '(t):

Доказательство. Найдем дифференциал правой часть равенства (2.3), воспользовавшись свойством инвариантности формы первого дифференциала и учитывая, что t = ' 1:

d(G(' 1(x)) + C) = dG(' 1(x)) = G0(' 1)d ' 1 = G0(t) dt:

Так как согласно (2.2) функция G(t) является первообразной для функции f('(t))'0(t) íà

интервале ( ; ), то

G0(t) dt = f('(t))'0(t) dt = f(x)dx

при заданном условии x = '(t), t 2 ( ; ), x 2 (a; b).

Все это означает, что (G(' 1(x)) + C)0 = f(x) и функции множества G(' 1(x)) + C являются первообразными для функции f(x) на (a; b), что и требовалось доказать.

2

2.4.Метод интегрирования по частям

Теорема 2.4.1. Пусть U(x), V (x) дифференцируемые функции на интервале (a; b),

R

справедливо равенство

Z Z

U(x) dV (x) = U(x)V (x) V (x) dU(x):

Это равенство обычно сокращенно записывают в виде формулы

Замечание 2.1. Вообще говоря, левая часть в формуле (2.4) равна правой с точностью до произвольного постоянного слагаемого, поскольку каждый из интегралов, фигурирующих в этих формулах, определен с точностью до произвольной постоянной.

Доказательство. Найдем дифференциал произведения двух дифференцируемых на интервале (a; b) функций:

d (UV ) = U dV + V dU:

Возьмем интегралы от обеих частей этого равенства:

ZZ

d (UV ) = (U dV + V dU) :

Воспользовавшись свойствами неопределенного интеграла:

Z Z Z Z

d (UV ) = UV + C; (U dV + V dU) = U dV + V dU;

ZZ

имеем UV = U dV + V dU, т. е. верна формула (2.4).

Пример 2.7. Вычислим интеграл примера 2.6 методом интегрирования по частям.

3

Интегрированием по частям вычисляются, например, следующие интегралы:

RR

Pn(x) cos x dx; Pn(x) sin x dx:

Здесь n натуральное. Pn(x) некоторый многочлен порядка n. Большая часть из них вычисляется помощью повторного интегрирования по частям. Читайте [1] íà ñòð. 201.

Пример 2.8. Смотрите примеры 1,3 в [2] на стр. 326, 327, есть примеры там же на стр. 375, 376 и примеры 1 6 в [1] íà ñòð. 200, 202.

2.5.Элементарные функции, не имеющие элементарных первообразных

В курсе дифференциального исчисления мы установили, что если элементарная 2 функция имеет производную на некотором интервале, то эта производная является обязательно элементарной функцией, т. е. операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

С операцией интегрирования дело обстоит иначе. Некоторые элементарные функции имеют первообразную, которая не является элементарной функцией. В этом случае говорят, что интеграл н е б е р е т с я в э л е м е н т а р н ы х ф у н к ц и я х. Например, к

неберущимся относятся следующие неопределенные интегралы:

Z

e x2 dx,

ZZ

Первообразная для каждой из этих подынтегральных функций представляет собой функцию, не являющуюся элементарной. Несмотря на это, все эти первообразные хорошо изуче- ны и для них составлены подробные таблицы, помогающие их практически использовать.

Далее рассмотрим классы элементарных функций (рациональные, некоторые иррациональные и трансцендентные), интегрируемые в элементарных функциях.

2Определение элементарной функции и классификация элементарных функций приведены в лекции 5 прошлого семестра.

4

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

5