Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

интегрирование / Лекция14.Основные методы вычисления определенного интеграла

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

212.67 Кб

Скачать

☆

Лекция 14. Основные методы вычисления определенного интеграла; формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

14.1.Замена переменной интегрирования

Теорема 14.1.1. Пусть

1.функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b];

2.функция x = '(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [ ; ], причем

3.a = '( ) '(t) '( ) = b,

тогда

f(x) dx = f ['(t)] '0(t) dt:

(14.1)

Эта формула называется ф о р м у л о й з а м е н ы п е р е м е н н о г о в о п р е д е - л е н н о м и н т е г р а л е.

Доказательство.

Прежде всего заметим, что по условию функция f определена на области значений

функции ', поэтому имеет смысл сложная функция f ['(t)]. В силу сделанных предпо-

ложений подынтегральные функции в обеих частях формулы (14.1) непрерывны, поэтому оба интеграла в этой формуле существуют.

Если (x) какая-либо первообразная на отрезке [a; b] для f(x), т. е. 0(x) = f(x), то ['(t)] первообразная для функции

f(')'0(t), òàê êàê		d	['(t)] = 0		(')'0(t) = f(')'0(t). При этом справедливы равенства
f(')'0(t), òàê êàê		dt	['(t)] = 0		(')'0(t) = f(')'0(t). При этом справедливы равенства
		dt
	f ['(t)] '0(t) dt = ['(t)]			= ['( )] ['( )] = (b) (a) = Z		b
Z	f ['(t)] '0(t) dt = ['(t)]			= ['( )] ['( )] = (b) (a) = Z		f(x) dx;
					a

что и требовалось доказать.

Замечание 14.1. Отметим отличия замены переменной в определенном интеграле от замены переменной в неопределенном интеграле:

1.вместе с заменой переменной надо обязательно менять и пределы интегрирования: a ! , b ! ;

2.от функции x = '(t) не требуется существование обратной функции t = ' 1(x), поскольку

3.нет надобности возвращаться к старой переменной x. Если вычислен второй из опре-

деленных интегралов (14.1), который представляет собой ч и с л о, то тем самым вычислен и первый.

Пример 14.1.

pa2

x2 dx =

x a sin t

= a2

>dx== a cos t dt

cos2 t dt =

:0 ! 0; a ! =2 ;

(1 + cos 2t) dt =

t +

sin 2t

Сравните этот пример с примером 2.6, рассмотренным в лекции 2.

14.2.Формула интегрирования по частям

Теорема 14.2.1. Если функции U = U(x) и V = V (x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a; b], то

		b	U dV = UV a Z		b			(14.2)
		Z	U dV = UV a Z		V dU:			(14.2)
		a		b
		a		a


Эта формула называется		ô î ð ì ó ë î é è í ò å ã ð è ð î â à í è ÿ ï î						÷ à ñ ò ÿ ì ä ë ÿ
î ï ð å ä å ë å í í î ã î è í ò å ã ð à ë à.
Доказательство. Имеем
	b	b				b	b
Za	(UV )0 dx = Za		(UV 0 + U0V ) dx = Za			U dV + Za	V dU:	(14.3)

Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции непрерывны. Так как согласно формуле Ньютона Лейбница,

(UV )0 dx = UV ;

òî èç (14.3) получим

U dV + V dU = UV ; (14.4)

откуда и следует формула (14.2). Теорема доказана.

		2
Пример 14.2. Найти значение интеграла Z1			ln x dx
	2	(dV== dx V = x	)	= x ln x	2	dx = 2 ln 2 1:
	Z ln x dx =	(dV== dx V = x	)	= x ln x	1 Z	dx = 2 ln 2 1:
	1	U ln x dU = dx=x			2
	1				1

14.3.Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Применим формулу интегрирования по частям для вывода ф о р м у л ы Т е й л о р а ф у н к ц и и f(x) с о с т а т о ч н ы м ч л е н о м в ф о р м е Л а г р а н ж а, о которой

мы уже говорили ранее1.

Теорема 14.3.1. Пусть функция f(x) имеет в некоторой -окрестности U (a) точ- ки a непрерывную производную (n + 1)-го порядка, и пусть x любая данная точка из

ýòîé U (a). Тогда справедлива формула Тейлора

f(k)(a)

f(n+1)( )

(x a)k +

(n + 1)! (x a)n+1;

2 (a; x);

f(x) =

(14.5)

в которой остаточный член, представленный в виде

f(n+1)( )

rn(x) =

(x a)n+1;

(n + 1)!

называется о с т а т о ч н ы м

÷ ë å í î ì

â ô î ð ì å

Ë à ã ð à í æ à

Доказательство. Заметим, что

f(x) = f(a) + Za

f0(t) dt:

f0(t) dt применим формулу (14.2) интегрирования по частям, полагая U(t) =

К интегралу

f0(t) è V (t) =R

t) (так как x фиксировано, то V 0dt = dt). Имеем

U = f (t) dU = f00(t) dt

Z f0(t) dt = (dV = dt0

V =

) = f0(t)(x t) a + Z f00(t)(x t) dt =

К интегралу Za

f00(t)(x t) dt также применим формулу интегрирования по частям:

= 8

t)2

= f0(a)(x

a) f00(t)(x t)

a+ 1

f000(t)(x

t)2 dt =

U = f00(t)

dU = f000(t) dt

dV = (x t)dt V =

2 Z

1Семестр 1, лекция 33.

;

000( )

dU = f

(x(t) t)3

= f0(a)(x a) +

(4)

dV = (x

t) dt

V =

f000(t)

(x t)

f(4)

(t)(x

t)3 dt

f00(a)(x a)2+ 2!

= : : : =

Дальнейшее интегрирование по частям будем производить до тех пор, пока не придем к формуле

	f00(a)		f000(a)		fn(a)			x
= f0(a)(x a) +						1		Za
		(x a)2 +		(x a)3 + : : : +		(x a)n +			f(n+1)(t)(x t)n dt:
	2!		3!		n!		n!

Последнее слагаемое здесь называется остаточным членом формулы Тейлора для функции f(x) с центром разложения в точке a в и н т е г р а л ь н о й ф о р м е. Применяя

обобщенную теорему о среднем2 к остаточному члену в интегральной форме, получим остаточный член в форме Лагранжа:

n+1

(n+1)

( )

(x) =

f(n+1)(t)(x

t)n dt =

f(n+1)

( )

(x t)

a)n+1

n + 1

(n + 1)!

2Если функции f(x) è g(x) удовлетворяют условиям: f(x) è g(x) интегрируемы на [a; b], 9 m; M :

Z b Z b

8 x 2 [a; b] m 6 f(x) 6 M, g(x) не меняет знак на [a; b], òî 9 2 [m; M] : f(x)g(x)dx = g(x)dx:

a a

Доказательство изложено в лекции 11-12.

Соседние файлы в папке интегрирование

#
27.03.2015185.33 Кб63Лекция1.Неопределенный интеграл.pdf
#
27.03.2015184.66 Кб71Лекция10.Критерии интегрируемости.Классы интегрируемых функций.pdf
#
27.03.2015269.71 Кб67Лекция11-12.Свойства определенного интеграла и интегрируемых функций.pdf
#
27.03.2015186.79 Кб61Лекция13.Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница.pdf
#
27.03.2015212.67 Кб57Лекция14.Основные методы вычисления определенного интеграла.pdf
#
27.03.2015327.37 Кб78Лекция15-16.Длина спрямляемой кривой.pdf
#
27.03.2015225.04 Кб79Лекция17.Площадь плоской квадрируемой фигуры.pdf
#
27.03.2015323.1 Кб63Лекция18.Классы квадрируемых фигуры.pdf
#
27.03.2015248.66 Кб64Лекция19.Объем кубируемого тела.pdf
#
27.03.2015196.04 Кб59Лекция2.Методы интегрирования.pdf