Лекция 3-4. Интегрирование рациональных функций

3.1.Интегрирование целых рациональных функций

Напомним, что ц е л о й р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й (алгебраическим много- членом или полиномом) называется функция вида

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn;

ãäå n 2 N, ai 2 R, i = 1; n, определенная для всех x 2 R.

Теорема 3.1.1. Любая целая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Доказательство (конструктивное).

3.2. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих четырех типов:

Теорема 3.2.1. Неопределенные интегралы от каждой из простейших рациональных дробей типа 1-4 являются элементарными функциями.

Доказательство (конструктивное). Надо проинтегрировать каждую из простейших рациональных дробей типа 1 4. Об интегрировании простейших рациональных дробей читайте [1] íà ñòð. 226 227 èëè [2] íà ñòð. 350 352

3.3.Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется дробь, числителем и знаменателем которой являются целые рациональные функции

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + : : : + anxn :

Qm(x) b0 + b1x + b2x2 + : : : + bmxm

Областью определения дробной рациональной функции является множество действительных чисел за исключением точек, в которых выполняется равенство Qm(x) = 0.

1

Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе (n m), то дробь называется н е п р а в и л ь н о й. Если степень многочлена в

числителе меньше степени знаменателя (n < m), то дробь называется п р а в и л ь н о й.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Такое представление неправильной рациональной дроби называется в ы д е л е н и е м ц е л о й ч а с т и. Это выделение можно осуществить

при делении числителя на знаменатель уголком , расположив делимое и делитель по

убыванию степеней.

Пример 3.1. Выделить целую часть неправильной дроби. Смотрите [1] на странице 225.

Pn(x)

Всякую правильную рациональную дробь Qm(x) можно представить в виде суммы конечного числа простейших рациональных дробей типов 1-4. Для разложения правильной

Pn(x)

рациональную дробь Qm(x) на простейшие необходимо разложить ее знаменатель на линейные и квадратные множители, для чего надо решить уравнение

Предположим, что уравнение (3.1) уже решено, т. е. найдены все корни многочлена Qm(x). Согласно следствию из основной теоремы алгебры многочлен Qm(x) имеет ровно m корней (с уч¼том их кратности). Корни могут быть действительными (простыми или кратными) или комплексными (простыми или кратными). Тогда

1.если является простым корнем многочлена Qm(x) (Qm( ) = 0), òî Qm(x) без остатка делится на x , т. е. Qm(x) = (x )Qm 1(x);

2.если является корнем кратности k многочлена Qm(x), то многочлен Qm(x) без остатка делится на (x )k ò. å. Qm(x) = (x )kQm k(x);

3.если комплексное число z = u+iv является корнем многочлена Qm(x), то его корнем является также комплексно - сопряженное число z = u iv. Тогда

4.Если комплексно - сопряженные числа u iv являются корнями многочлена Qm(x) кратности k, то Qm(x) представим в виде Qm(x) = (x2 + px + q)kQm 2k(x).

Пусть для определенности число bj является действительным корнем кратности j многочлена Qm(x), j = 1; l; комплексносопряженные числа uj ivj корнями кратности

lr

2

Pn(x)

Теорема 3.3.1 (О разложении правильной рациональной дроби). Пусть Qm(x) ïðà- вильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет вид (3.2). Тогда эту дробь можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

ãäå Bij; Mij è Nij со всевозможными индексами ij некоторые действительные числа, часть которых в разложении может обратиться в нуль.

Без доказательства.

Замечание 3.1. Для разложения конкретной правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей используется м е т о д н е о п р е д е л е н н ы х к о э ф ф и ц и е н - т о в. Суть метода состоит в следующем. Записывают разложение правильной рациональной дроби по формуле (3.3) с неопределенными коэффициентами Bij; Mij è Nij. Äëÿ отыскания указанных коэффициентов следует привести правую часть равенства (3.3) к общему знаменателю и затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в

полученном числителе справа и в числителе слева ( Pn(x)).

Пример 3.2. Примеры и разъяснения метода неопределенных коэффициентов смотрите в [1] на стр. 222-223 (примеры 1 и 2) и в [2] íà ñòð. 348-349.

Теорема 3.3.2. Любая рациональная дробь интегрируется в элементарных функциях.

Доказательство (конструктивное). Для того чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить следующие действия:

если рассматриваемая рациональная дробь неправильная, надо выделить целую часть, т. е. представить неправильную рациональную дробь в виде суммы многочлена (це-

Pn(x)

лой рациональной функции) и правильной дроби Qm(x) (n < m);

правильную дробь Qm(x) (n < m) представить в виде суммы простейших рациональных дробей (из теоремы 3.3.1 следует, что это всегда можно сделать единственным образом);

интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от целой рациональной функции и от соответствующих простейших рациональных дробей.

Из теорем 3.1.1, 3.2.1 следует, что полученный неопределенный интеграл от рациональной дроби будет элементарной функцией. Теорема доказана.

Пример 3.3. Смотрите примеры интегрирования рациональных дробей в [2] на странице 353 354.

3.4.Метод Остроградского

Метод Остроградского представляет собой разновидность метода неопредел¼нных коэффициентов. Он эффективен в том случае, когда знаменатель рациональной функции имеет кратные корни, особенно, если они комплексные.

3

Интеграл от правильной рациональной дроби можно представить в виде суммы

ãäå Qk(x) многочлен, имеющий те же корни, что и Qm(x), только все они являют-

ся простыми; Qm k(x) = Qm(x); Pek 1(x) è Pem k 1(x) многочлены с неопределенными

Qk(x)

коэффициентами, степень которых на единицу меньше, чем степень соответствующих знаменателей.

Обоснование метода читайте в [2] íà ñòð. 354-355.

Пример 3.4. применения метода Остроградского к интегрированию рациональной дроби смотрите в [2] на странице 358 359.

4

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

5