Лекция 15-16. Длина спрямляемой кривой

15.1.Определение кривой

Пусть на промежутке [a; b] заданы функции

x = x(t); y = y(t); z = z(t):

В этом случае можно сказать, что на промежутке [a; b] определена фукция

~r(t) = (x(t); y(t); z(t));

значениями которой являются векторы трехмерного евклидова пространства E3

åì, ÷òî â E3 зафиксирована декартова прямоугольная система координат). Функцию ~r(t) называют также в е к т о р - ф у н к ц и е й1.

Если функции (15.1) непрерывны на промежутке [a; b], то вектор-функция ~r(t) является

непрерывной. Если при некотором значении t0 2 (a; b) существуют производные x0(t0), y0(t0), z0(t0), то производная вектор-функции в точке t0, есть вектор

~r 0(t0) = (x0(t0); y0(t0); z0(t0)):

Если функции (15.1) непрерывно дифференцируемы на промежутке [a; b], то функция ~r(t)

также является непрерывно дифференцируемой.

Множество точек M(t) = (x(t); y(t); z(t)); t 2 [a; b], радиус-векторами2 которых являются векторы ~r(t), обозначим . Будем писать

Если функции (15.1) непрерывны на промежутке [a; b] (т. е. функция ~r(t) непрерывна),

(говорят еще заданной параметрически).

Множество = f(x(t); y(t)) ; t 2 [a; b]g, где x(t), y(t) непрерывные на промежутке [a; b] функции, называют непрерывной кривой на плоскости или непрерывной п л о с к о й

кривой, заданной параметрически3.

Каждому значению параметра t соответствует точка M(t) кривой . Когда t пробегает [a; b], возрастая от a к b, кривая служит траекторией движения точки M(t) и возрастание t определяет некоторое направление движения по кривой. Говорят, что этим на кривой зада¼тся о р и е н т а ц и я.

При убывании t от b к a получим ту же кривую , но с противоположным направлением

движения (с противоположной ориентацией).

В механике кривую (15.2), заданную вектор-функцией ~r(t), называют г о д о г р а ф о м этой функции.

1Задав только две функции x = x(t); y = y(t); a t b, мы зададим вектор-функцию со значениями в E2, т. е. на плоскости xOy.

2Радиус-вектор это вектор, задающий положения точки относительно начала координат, идущий из

начала координат в эту точку.

3Мы говорили в лекции 27 первого семестра о функциях, заданных параметрически, и их производных.

1

Если некоторые точки, соответствующие разным значениям t из интервала (a; b), сов-

падают, их называют точками с а м о п е р е с е ч е н и я кривой.

Непрерывную кривую без точек самопересечения называют п р о с т о й д у г о й. Непрерывную кривую (15.2) называют п р о с т о й з а м к н у т о й к р и в о й (з а -

м к н у т ы м к о н т у р о м), если M(a) = M(b), а при всех остальных t точки M(t) раз-

личны.

Простая дуга является г о м е о м о р ф н ы м образом отрезка, т. е. она может быть получена из отрезка с помощью взаимно-однозначного непрерывного отображения, обратное к которому также непрерывно. Простой замкнутый контур является гомеоморфным образом окружности.

Непрерывная кривая может быть задана разными вектор-функциями. Например, если сделать замену аргумента t = ('), где (') непрерывная строго возрастающая функ-

ция, отображающая промежуток [ ; ] на [a; b], то получим ту же кривую (15.2), заданную

теперь формулой

= f~r( (')); ' 2 [ ; ]g:

При этом в силу возрастания функции ориентация на кривой сохранится. Если же функция (') строго убывает, то получим кривую с противоположной ориентацией.

15.2.Понятие спрямляемой кривой и длины кривой

Пусть задана п р о с т а я д у г а AB (простая дуга на плоскости представлена на рис. 4). Произведем разбиение этой кривой точками

A = M0; M1; : : : ; Mi 1; Mi; : : : ; Mn = B

на n частей и в п и ш е м в кривую ломаную4 M0M1 : : : Mi 1Mi : : : Mn, соединяющую эти

точки. Обозначим максимальную из длин звеньев ломаной ( ) = max jMi 1Mij и назовем

1 i n

ее диаметром разбиения.

Длина L( ) этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих

Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы диаметр разбиения ( ) стремился к нулю. Если при этом существует к о н е ч н ы й предел последовательности длин ломаных L( ), не зависящий от способа разбиения этой кривой,

то кривая называется с п р я м л я е м о й, а значение этого предела называется д л и н о й к р и в о й. Обозначим длину кривой сиволом `: lim L( ) = `:

( )!0

Видно, что длина кривой не зависит от способа задания, так как в определении длины участвуют только ломаные, вписанные в кривую.

Замечание 15.1. Если последовательность ломаных flng (речь идет не о вписанных ломаных) приближается в некотором смысле к кривой l, то это, вообще говоря, не означает,

что длина ломаных ln приближается к длине кривой l. Например, рассмотрим последовательность ломаных flng на рисунке 1, приближающихся к основанию равностороннего треугольника единичной длины. Обозначим длину ломаной lk символом `k: jlkj = `k,

k = 1; 2; : : :, jlj = `. Очевидно, `1 = 2, `2 = 2, `3 = 2; : : :, `n = 2, lim `n = 2, в то время, как

n!1

` = 1.

4Ломаная состоит из конечного числа прямолинейных отрезков (звеньев), при этом начало следующего отрезка совпадает с концом предыдущего. Точки соединения звеньев называются вершинами. Ломаная, все вершины которой являются точками некоторой кривой, называется в п и с а н н о й в эту кривую

2

Рис. 1: Последовательность ломаных l1; l2; l3; : : :, приближающихся к отрезку l.

Пример 15.1 (Неспрямляемая кривая). График функции (рис. 2)

дает пример н е с п р я м л я е м о й кривой, так как длины вписанных в нее ломаных неограниченно растут, когда диаметр разбиения кривой стремится к нулю.

Рис. 2: Пример неспрямляемой кривой.

Д/З.Привести пример неспрямляемой кривой, задаваемой дифференцируемой функцией.

15.3.Гладкие кривые

Можно показать, но не будем на этом останавливаться, что если в определении кривой предполагать только непрерывность функции ~r(t), то в качестве непрерывных кривых

появятся и множества точек, не соответствующие интуитивному представлению о кривой

как о тонкой нити . Например, точки непрерывной кривой могут целиком заполнять

квадрат. Первый пример подобной непрерывной кривой построил Д. Пеано, такие кривые называют кривыми Пеано.

Поэтому рассматривают более узкие классы кривых, когда на функцию ~r(t) накладываются дополнительные условия.

Определение 15.1. Кривая называется н е п р е р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м о й, если е¼ можно представить в виде = f~r(t); t 2 [a; b]g, с непрерывно дифференцируемой на отрезке [a; b] функцией ~r(t).

3

Если функция ~r(t) непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную 5 6

~r 0(t) = (x0(t); y0(t); z0(t)) ;

Кривая называется к у с о ч н о г л а д к о й, если она непрерывна и является объединением конечного числа гладких кривых. Например, границу треугольника или квадрата можно рассматривать как кусочно гладкую кривую.

Можно сказать иначе: множество точек из E3 называется гладкой кривой, если суще- ствует непрерывно дифференцируемая функция ~r(t) с неравной нулю производной такая, что это множество можно представить как f~r(t); t 2 [a; b]g.

Для гладкой кривой = f~r(t); t 2 [a; b]g при каждом t0 2 [a; b] отлична от нуля, по крайней мере, одна из производных x0(t0), y0(t0), z0(t0). Если, например, x0(t0) 6= 0, то в некоторой окрестности t0 производная x0(t) сохраняет знак и, следовательно, функция x(t)

строго монотонна.

Значит, x(t) в этой окрестности имеет непрерывно дифференцируемую обратную функцию t = t(x). Таким образом, гладкую кривую в некоторой окрестности каждой е¼ точки можно задать уравнениями y = y(t(x)), z = z(t(x)), т. е. уравнениями вида y = g(x), z = h(x).

Особенно просто это выглядит для плоских кривых. В этом случае z 0 и уравнение соответствующей части гладкой кривой имеет вид y = g(x) с непрерывно дифференцируемой функцией g(x).

Итак, плоская гладкая кривая в некоторой окрестности каждой своей точки является графиком непрерывно дифференцируемой функции. В любой точке гладкой кривой существует касательная, которая может быть параллельной одной из осей координат.

5т. е. функции (15.1) непрерывны и имеют кусочно непрерывные производные.

6 Функция называется кусочно непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна во всех внутренних точках [a; b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние предельные значения в точках a и b. Функция называется кусочно непре-

рывной на интервале или бесконечной прямой, если она кусочно непрерывна на любом принадлежащем им отрезке.

7Естественно, в точках a и b речь идет о соответствующих односторонних производных.

4