интегрирование / Лекция10.Критерии интегрируемости.Классы интегрируемых функций
.pdf
Лекция 10. Критерии интегрируемости. Классы интегрируемых функций
10.1.Критерии интегрируемости
Теорема 10.1.1 (Критерий Римана). Функция f(x) интегрируема на отрезке [a; b] ïî
Риману тогда и только тогда, когда lim (S( ) |
|
s( )) = 0, ò. å. |
|
||
( ) |
! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
8" > 0 9 > 0 : 8 ( ) < |
) S( ) s( ) < ": |
(10.1) |
|||
Доказательство. Необходимость. Функция f(x) интегрируема по Риману, согласно
определению (8.2), если
9I : 8" > 0 9 (") > 0 : 8 ( ) < ; 8 ) j ( ; ) Ij < "=4:
èëè, ÷òî òî æå
8 I "=4 < ( ; ) < I + "=4: |
(10.2) |
|
Из свойства 1 сумм Дарбу |
|
|
S( ) = sup ( ; ); |
s( ) = inf ( ; ) |
|
|
|
|
|
|
|
следует, что |
) S( ) < ( ; 0) + "=4; |
|
9 0 : ( ; 0) > S( ) "=4 |
|
|
9 00 : ( ; 00) < s( ) + "=4 ) s( ) < ( ; 00) + "=4:
Поэтому
S( ) s( ) < ( ; 0) + "=4 ( ; 00) + "=4:
Òàê êàê èç (10.2) для любых наборов точек 0; 00 следует справедливость неравенств
( ; 0) < I + "=4; ( ; 00) < I + "=4;
то S( ) s( ) < I + "=2 I + "=2 = ". Таким образом, выполняется (10.1). |
|
||||
|
Достаточность. Пусть имеет место (10.1). Тогда из определения нижнего I |
= sup s( ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и верхнего I = inf S( ) интегралов Дарбу и неравенства I |
|
I , их связывающего (свой- |
|||
|
|
|
|
||
ство 4 сумм Дарбу), следуют соотношения
s( ) I I S( ) ) 0 I I S( ) s( ) < ":
Заметим, что I , I зависят только от рассматриваемой функции f(x), следовательно, это фиксированные числа. В то же время, " произвольно, следовательно I I = 0. Обозначим I = I = I. Из неравенства
s( ) I S( )
следуют соотношения
S( ) s( ) S( ) I 0 è S( ) s( ) I s( ) 0:
1
Так как по условию |
lim (S( ) s( )) = 0, то согласно теореме о двух милиционерах |
||||||||
|
( ) |
! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
|
(S( ) I) = 0; |
lim (I |
s( )) = 0; |
|||
|
( ) |
! |
0 |
|
|
! |
|
||
|
|
|
( ) 0 |
||||||
ò. å. lim S( ) = I, |
lim s( ) = I. Тогда из свойства 1 сумм Дарбу |
||||||||
( )!0 |
( )!0 |
|
|
|
|
|
|
||
8 s( ) 6 ( ; ) 6 S( )
согласно теореме о двух милиционерах ( ; ) ! I при стремлении диаметра разбиения( ) к нулю (при измельчении разбиения отрезка [a; b]). Таким образом, функция f(x)интегрируема по Риману.
Доказать, используя критерий Римана, что функция Дирихле
D(x) = |
(1; |
åñëè |
x |
2 Q; |
|
|
0; |
åñëè |
x = |
Q; |
|
|
|
|
|
2 |
|
не интегрируема на любом отрезке [a; b].
В самом деле, на любом сколь угодно малом частичном отрезке [xi 1; xi] найдутся как рациональная, так и иррациональная точка. Следовательно, mi = 0, Mi = 1 и при любом разбиении отрезка [a; b] суммы Дарбу определяются следующим образом:
n |
n |
n |
X |
X |
Xi |
s( ) = |
0 xi = 0; S( ) = 1 xi = |
xi = b a: |
i=1 |
i=1 |
=1 |
Соответственно, S( ) s( ) = b a. Согласно критерию Римана функция Дирихле не интегрируема на отрезке [a; b].
Следствие 10.1.2 (Критерий Дарбу). Функция f(x) интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда равны ее нижний и верхний интегралы Дарбу, при этом
Z b
I = I = I = f(x)dx:
a
Доказательство провести самостоятельно.
Определение 10.1. Число wi(f) = Mi mi, ãäå Mi = |
sup f(x), mi = |
x |
[xinfi 1;xi] f(x) |
||
|
|
x2[xi 1;xi] |
2 |
|
|
называется к о л е б а н и е м ф у н к ц и и |
f на отрезке [xi 1; xi]. |
|
|
||
Òàê êàê |
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|||
|
X |
X |
Xi |
|
|
|
S( ) s( ) = Mi xi mi xi = |
wi(f) xi; |
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
=1 |
|
|
то из теоремы 10.1.1 очевидным образом получаем еще один критерий интегрируемости функции.
Следствие 10.1.3. Для того чтобы функция f(x) |
была интегрируема на отрезке [a; b] |
|||||
необходимо и достаточно, чтобы |
|
|
|
i! |
|
|
( )!0 |
=1 |
i |
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
lim |
Xi |
w (f) x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||||
ò. å. |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
8" > 0 9 > 0 : 8 ( ) < |
) |
Xi |
|
|||
wi(f) xi < ": |
(10.3) |
|||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
2
10.2.Классы интегрируемых функций
1. Монотонные функции.
Теорема 10.2.1. Функция, монотонная на отрезке [a; b], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство читайте в [2] на стр. 389 (теорема 4) или в [1] на стр. 344 (теорема 10.5).
2. Непрерывные функции.
Теорема 10.2.2. Функция, непрерывная на отрезке [a; b], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство читайте в [1] на стр. 341 (теорема 10.3).
3.Кусочно-непрерывные функции.
Определение 10.2. Функция, имеющая лишь конечное число точек разрыва на отрезке, каждая из которых есть точка разрыва первого рода, называется к у с о ч - н о - н е п р е р ы в н о й на этом отрезке.
Теорема 10.2.3. Функция, кусочно-непрерывная на отрезке [a; b], интегрируема на этом отрезке.
Доказательство провести самостоятельно после изучения свойств определенного интеграла.
3
Список литературы
[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.
4