Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

интегрирование / Лекция8.Понятие определенного интеграла.Необходимое условие интегрируемости

.pdf
Скачиваний:
59
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
183.94 Кб
Скачать

Лекция 8. Понятие определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.

8.1.Интегральная сумма. Определенный интеграл

Пусть функция y = f(x) определена и ограничена на отрезке [a; b]. Разобьем [a; b] произвольным образом на n частей точками x0; x1; : : : ; xn и обозначим это разбиение через

= fx0; x1; : : : ; xn : a = x0 < x1 < : : : < xn 1 < xn = bg:

Пусть xi разность xi xi 1, которую будем называть длиной частичного отрезка [xi 1; xi], i = 1; n. На каждом из отрезков [xi 1; xi] произвольным образом выберем точку i, обозначив множество выбранных точек = f 1; : : : ; ng, и составим сумму

n

 

 

Xi

 

 

( ; ) =

f( i) xi:

(8.1)

=1

 

 

Эта сумма называется и н т е г р а л ь н о й

ñ ó ì ì î é

Р и м а н а для функции f(x)

на отрезке [a; b], соответствующей разбиению и выбору промежуточных точек .

Рис. 1: Геометрическая интерпретация понятия интегральной суммы.

Пусть ( ) длина наибольшего частичного отрезка разбиения , т. е. = maxf xig,

i=1;n

называемая д и а м е т р о м р а з б и е н и я .

Определение 8.1. Если существует конечный предел интегральной суммы (8.1) при стремлении к нулю диаметра разбиения, не зависящий от способа разбиения отрезка [a; b]

на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то этот предел называют о п р е - д е л е н н ы м и н т е г р а л о м (или и н т е г р а л о м Р и м а н а) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают

b

, ( )!0

n

i i

Za

) = ( )!0 i=1

 

 

X

 

f(x)dx

lim ( ;

lim

f( ) x :

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется и н т е г р и р у е м о й н а о т р е з к е [a; b] ( или и н т е г р и р у е м о й п о Р и м а н у). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) подынтегральной функцией, x переменной интегрирования, a и b соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

1

Таким образом определенный интеграл есть число (обозначим его I), равное пределу, к которому стремится интегральная сумма при любом разбиении отрезка [a; b] в случае, когда диаметр разбиения ( ) стремится к нулю, и при любом выборе промежуточных точек . Функция f(x) и н т е г р и р у е м а на [a; b], если

9I : 8" > 0 9 (") > 0 : 8 ( ) < ; 8 ) j ( ; ) Ij

n

f( i) xi I

 

< ": (8.2)

 

i=1

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 8.1. Интегральная сумма не зависит от обозначения аргумента данной функции. Следовательно, и ее предел, т. е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Z b Z b Z b

f(x)dx = f(t)dt = f(y)dy:

a a a

Пример 8.1. Докажем, что функция f(x) = c = const интегрируема на любом отрезке

b

 

[a; b], причем Ra

c dx = c(b a). В самом деле, так как f( i) = c при любых i, òî

nn

XX

( ; ) =

c xi = c xi = c(b a);

i=1

i=1

и поэтому

lim

( ; ) не зависит от разбиения отрезка [a; b] и выбора точек . Следова-

 

b

( )!0

 

 

 

 

 

 

 

тельно,

 

=

( )!0

) =

(

 

 

)

 

Ra

 

b

 

 

c dx

 

lim ( ;

 

c

 

a

, что и требовалось доказать.

8.2. Необходимое условие интегрируемости

Теорема 8.2.1. Если f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на [a; b].

Доказательство. От противного: предположим, что функция f(x) не ограничена на отрезке [a; b]. Тогда для любого разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки найдется

хотя бы один частичный отрезок [xk 1; xk] на котором функция будет неограниченной. Это означает, что для любого сколь угодно большого числа M найдется точка c 2 [xk 1; xk] такая, что jf(c)j > M. Следовательно, можно выбрать точку k 2 [xk 1; xk] òàê, ÷òî àá- солютная величина произведения f( k) xk будет больше наперед заданного числа, тогда при любом разбиении интегральная сумма

nn

XX

( ; ) = f( i) xi = f( i) xi + f( k) xk

i=1

i6=k

 

по абсолютной величине будет неограниченной, а, следовательно, не существует предела интегральной суммы ( ; ) при стремлении диаметра разбиения к нулю, что противоречит

условию теоремы. Теорема доказана.

Таким образом, если функция не ограничена на отрезке [a; b], то она не интегрируема по Риману на отрезке [a; b]. Но не всегда ограниченная функция на отрезке [a; b] является

интегрируемой по Риману на этом отрезке. Такой функцией, например, является функция Дирихле, определенная на отрезке [0; 1]. Читайте об этом в [2] íà ñòð. 383.

Замечание 8.1. Далее в теме Определенный интеграл речь будет идти только об огра-

ниченных функциях, так как неограниченные не являются интегрируемыми по Риману.

2

Список литературы

[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.

3