
интегрирование / Лекция8.Понятие определенного интеграла.Необходимое условие интегрируемости
.pdf
Лекция 8. Понятие определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.
8.1.Интегральная сумма. Определенный интеграл
Пусть функция y = f(x) определена и ограничена на отрезке [a; b]. Разобьем [a; b] произвольным образом на n частей точками x0; x1; : : : ; xn и обозначим это разбиение через
= fx0; x1; : : : ; xn : a = x0 < x1 < : : : < xn 1 < xn = bg:
Пусть xi разность xi xi 1, которую будем называть длиной частичного отрезка [xi 1; xi], i = 1; n. На каждом из отрезков [xi 1; xi] произвольным образом выберем точку i, обозначив множество выбранных точек = f 1; : : : ; ng, и составим сумму
n |
|
|
Xi |
|
|
( ; ) = |
f( i) xi: |
(8.1) |
=1 |
|
|
Эта сумма называется и н т е г р а л ь н о й |
ñ ó ì ì î é |
Р и м а н а для функции f(x) |
на отрезке [a; b], соответствующей разбиению и выбору промежуточных точек .
Рис. 1: Геометрическая интерпретация понятия интегральной суммы.
Пусть ( ) длина наибольшего частичного отрезка разбиения , т. е. = maxf xig,
i=1;n
называемая д и а м е т р о м р а з б и е н и я .
Определение 8.1. Если существует конечный предел интегральной суммы (8.1) при стремлении к нулю диаметра разбиения, не зависящий от способа разбиения отрезка [a; b]
на частичные отрезки и выбора промежуточных точек , то этот предел называют о п р е - д е л е н н ы м и н т е г р а л о м (или и н т е г р а л о м Р и м а н а) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают
b |
, ( )!0 |
n |
i i |
Za |
) = ( )!0 i=1 |
||
|
|
X |
|
f(x)dx |
lim ( ; |
lim |
f( ) x : |
Если указанный предел существует, то функция f(x) называется и н т е г р и р у е м о й н а о т р е з к е [a; b] ( или и н т е г р и р у е м о й п о Р и м а н у). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) подынтегральной функцией, x переменной интегрирования, a и b соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
1
Таким образом определенный интеграл есть число (обозначим его I), равное пределу, к которому стремится интегральная сумма при любом разбиении отрезка [a; b] в случае, когда диаметр разбиения ( ) стремится к нулю, и при любом выборе промежуточных точек . Функция f(x) и н т е г р и р у е м а на [a; b], если
9I : 8" > 0 9 (") > 0 : 8 ( ) < ; 8 ) j ( ; ) Ij |
n |
f( i) xi I |
|
< ": (8.2) |
|
i=1 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 8.1. Интегральная сумма не зависит от обозначения аргумента данной функции. Следовательно, и ее предел, т. е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
Z b Z b Z b
f(x)dx = f(t)dt = f(y)dy:
a a a
Пример 8.1. Докажем, что функция f(x) = c = const интегрируема на любом отрезке
b |
|
[a; b], причем Ra |
c dx = c(b a). В самом деле, так как f( i) = c при любых i, òî |
nn
XX
( ; ) = |
c xi = c xi = c(b a); |
i=1 |
i=1 |
и поэтому |
lim |
( ; ) не зависит от разбиения отрезка [a; b] и выбора точек . Следова- |
||||||||
|
b |
( )!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, |
|
= |
( )!0 |
) = |
( |
|
|
) |
|
|
Ra |
|
b |
|
|||||||
|
c dx |
|
lim ( ; |
|
c |
|
a |
, что и требовалось доказать. |
8.2. Необходимое условие интегрируемости
Теорема 8.2.1. Если f(x) интегрируема на отрезке [a; b], то она ограничена на [a; b].
Доказательство. От противного: предположим, что функция f(x) не ограничена на отрезке [a; b]. Тогда для любого разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки найдется
хотя бы один частичный отрезок [xk 1; xk] на котором функция будет неограниченной. Это означает, что для любого сколь угодно большого числа M найдется точка c 2 [xk 1; xk] такая, что jf(c)j > M. Следовательно, можно выбрать точку k 2 [xk 1; xk] òàê, ÷òî àá- солютная величина произведения f( k) xk будет больше наперед заданного числа, тогда при любом разбиении интегральная сумма
nn
XX
( ; ) = f( i) xi = f( i) xi + f( k) xk
i=1 |
i6=k |
|
по абсолютной величине будет неограниченной, а, следовательно, не существует предела интегральной суммы ( ; ) при стремлении диаметра разбиения к нулю, что противоречит
условию теоремы. Теорема доказана.
Таким образом, если функция не ограничена на отрезке [a; b], то она не интегрируема по Риману на отрезке [a; b]. Но не всегда ограниченная функция на отрезке [a; b] является
интегрируемой по Риману на этом отрезке. Такой функцией, например, является функция Дирихле, определенная на отрезке [0; 1]. Читайте об этом в [2] íà ñòð. 383.
Замечание 8.1. Далее в теме Определенный интеграл речь будет идти только об огра-
ниченных функциях, так как неограниченные не являются интегрируемыми по Риману.
2
Список литературы
[1]Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2-х ч, Часть 1. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
[2]Кудрявцев Л.Д. Математический анализ Òîì 1.
3