практикаинтегралы / Занятие 17 Вычисление площадей

Занятие 17

2.3. Вычисление площадей

2.3.1 Площадь в прямоугольных координатах

Площадь S , ограниченную кривой , осью Ox и двумя перпендикулярами к оси Ox: и вычисляет определенный интеграл при , или при . .

Вычислим некоторые площади.

№2401

Из условий задачи ясно, что искомая площадь вычисляется следующим интегралом. = = = = =

№2403

Из заданного уравнения ясно, что требуется найти площадь эллипса. В силу симметрии данного эллипса как относительно оси Ox , так и относительно оси Oy, достаточно составить интеграл, вычисляющий четверть его площади.

= = = =

= = = =

= = = Т.о. вся площадь эллипса .

Аналогично решается №№ 2399, 2404

Домашнее задание №№ 2398, 2407

2.3.2 Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде

Если - параметрические уравнения кусочно-гладкой простой замкнутой кривой С, пробегаемой против часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью S ,то =

Вычислим некоторые площади.

№2413 и Т.к. заданная кривая не замкнута, то вычисляем площадь по формуле

= = =

= = =

№2414 , Задана кривая с самопересечением в точке , соответствующей значениям параметра и . Другими словами кривая описывает петлю. Задача состоит в вычислении площади петли. = = = = = =

Аналогично решается №№ 2415, 2417(а).

Домашнее задание №№ 2416, 2417(б).

2.3.3 Площадь в полярных координатах

Площадь сектора ОАВ, ограниченного непрерывной кривой и двумя полупрямыми и , равна = .

Вычислим площади фигур, ограниченных кривыми, заданными в полярных координатах.

№2419 . В силу четности функции фигура, ограниченная заданной кривой симметрична относительно полярной оси. Это позволяет вычислить половину площади. = = = = = =

Аналогично решается № 2418, 2422(б).

Домашнее задание № 2420, 2423.