практикаинтегралы / Занятие 19 Вычисление объемов

Занятие 19

2.5. Вычисление объемов

2.5.1. Объем тела по известным поперечным сечениям

Если объем тела существует и есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси в точке . то .

№2456. Найти объем чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами и , верхнее ребро равно , а высота равна .

При рассечении данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси , получим в сечении прямоугольник с шириной и длинной, меняющимися пропорционально высоте .

Т.к. меняется от 0 до , то ширина меняется от до 0 по формуле .

Длина меняется от до по формуле .

Площадь сечения сделанного на высоте вычисляется по формуле = = = .

А объем вычисляет интеграл = = = = = = = .

№2465. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: , .

Очевидно, что первое уравнение задаёт в плоскости окружность радиуса , а в пространстве цилиндр параллельный оси . Сечением этого цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси , является полоса .

Аналогично, второе уравнение задаёт в плоскости окружность радиуса , а в пространстве цилиндр параллельный оси . Сечением этого цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси , является полоса .

Т.о. сечение всего тела плоскостью, перпендикулярной оси , является общая часть обеих полос. А это квадрат со стороной и, значит, площадью .

Теперь легко составить интеграл, вычисляющий объем заданного тела. = = = = = = .

Аналогично решаются №№ 2457, 2460, 2462.

Домашнее задание №№ 2458, 2459, 2466.

2.5.2. Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , , где - непрерывная однозначная функция, равно , или .

Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси фигуры , , где и - полярные координаты, равен .

№2472. Найти объем тела, ограниченного поверхностями, полученными вращением вокруг оси следующей линии: , .

Объем находится точно по формуле = = = .

№2481 (б). Найти объем тела, ограниченного поверхностями, полученными вращением вокруг оси следующей линии: , , .

Для вычисления объема воспользуемся формулой .

Учитываем, что в случае параметрического задания кривой , , а пределы интегрирования – это пределы изменения параметра. Симметрия фигуры позволяет вычислить только половину объема (в этом случае параметр принимает значения от 0 до ), а затем удвоить. = = = = = = = = .

№2483 (1.а). Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры, заданной в полярных координатах: , , вокруг полярной оси.

Воспользуемся имеющейся формулой, но учтем четность .

= = = = = = .

Аналогично решаются №№ 2473, 2482.1, 2484.1.

Домашнее задание №№ 2475, 2481, 2484.2.