практикаинтегралы / Занятие 21 Вычисление моментов

Занятие 21

2.7. Вычисление моментов

Если на плоскости масса М плотности заполняет некоторый ограниченный континуум (линию, плоскую область) и - соответствующая мера (длина дуги, площадь) той части континуума , ординаты которой не превышают , то -м моментом массы М относительно называется число .

Как частные случаи, получаем при =0 массу М, =1 статический момент, =2 момент инерции.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры определяются по формуле ,

№2501.2. Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса относительно диаметра, проходящего через концы этой дуги.

Т.к. плотность не задана, считаем дугу однородной с . Диаметр считаем горизонтальным, а центр окружности совпадающим с началом координат. В этом случае . . Соответствующей мерой служит длина дуги .

С учетом выше сказанного вычисляем статический момент = = = = .

Момент инерции вычисляет следующий интеграл = = = = = = .

№2512. Определить координаты центра масс области, ограниченной кривой .

Т.к. плотность не задана, считаем область однородной с .

Соответствующей мерой служит площадь области . = .

Из уравнений связи декартовых и полярных координат следует, что , .

Теперь легко составить интегралы, вычисляющие моменты необходимые для нахождения центра тяжести (особенно, если учесть симметричность фигуры).

= = = = = = =

= =

= = = = = = = = 0.

= = 0.

= = = = = = = = = = = =.

В полярных координатах получаем = = 0, = = .

Аналогично решаются №№ 2501,1, 2513.

Домашнее задание №№ 2502,1, 2511.