практикаинтегралы / Занятие 20 Вычисление площадей поверхностей вращения

Занятие 20

2.6. Вычисление площадей поверхностей вращения

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой АВ вокруг оси , равна , где - дифференциал дуги.

№2489. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой , : а) вокруг оси ; б) вокруг оси .

Прежде всего, надо вычислить - дифференциал дуги. , , , .

В случаи вращения вокруг оси работает формула . По ней и вычисляем = = = = = = .

В случаи вращения вокруг оси роль радиуса круга вращения играет , поэтому работает формула . Вычисляем площадь поверхности. = =

= = = = = .

№2496. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой , вокруг прямой .

Как и в ранее рассмотренной задаче, прежде всего, надо вычислить - дифференциал дуги.

. , = = = .

Кроме того, надо вычислить расстояние от точки плоскости до прямой , которое и будет радиусом круга. Не трудно догадаться, что = .

Симметричность кривой позволяет вычислить площадь поверхности как удвоенную площадь половины поверхности.

=

= = = = = - - .

Получены два интеграла, являющиеся дифференциальными биномами относительно и соответственно. В ответе получится .

№2497. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг полярной оси.

Вычисляем дифференциал длины дуги.

= = = = = .

Радиусом вращения вокруг полярной оси является расстояние до неё, или .

Осталось составить интеграл и вычислить площадь поверхности вращения.

= =

(тригонометрические преобразования приводят к результату)

= = = = =

Аналогично решаются №№ 2490, 2495(б), 2498(в).

Домашнее задание №№ 2493, 2495(в), 2498(б).