RZVM

14. Дифференциалы функции одной переменной

Дифференциал первого порядка dy от функции y = f(x) вычис-

ляется по формуле

dy = f0(x) dx:

Заметим, что эта формула сохраняет свой вид, если вместо переменных x и y будут заданы другие переменные.

П р и м е р 1. Найти dy, если y = arcsin px. Р е ш е н и е

dy = (arcsin px)0x dx = p1 ¡1(px)2 (px)0 dx = pxp11 ¡ x dx:

П р и м е р 2. Найти dx, если x = e¡t2 . Р е ш е н и е

dx = ³e¡t2 ´0 dt = e¡t2 (¡t2)0 dt = ¡2t e¡t2 dt:

t

П р и м е р 3. Найти du, если u = sin4 3v.

Ре ш е н и е

du = (sin4 3v)0v dv = 12 sin3 3v cos 3v dv = 6 sin2 3v sin 6v dv:

Для дифференциалов существуют правила дифференцирования в дифференциалах, аналогичные правилам вычисления производной:

1) dc = 0, где c постоянная.

82

2)dcu = cdu, c постоянная.

3)d(u + v) = du + dv.

4)d(uv) = v du + u dv.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка:

d2y = d(dy):

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков.

Вследующих примерах с помощью правил дифференцирования

вдифференциалах нужно найти dy и d2y от сложной функции при условии, что существуют первые и вторые дифференциалы от функций u и v.

П р и м е р 4. Найти dy и d2y от функции y = u2v2.

Р е ш е н и е. Заметим, что лучше искать дифференциалы от этой же функции, но представленной в виде y = (uv)2.

dy = 2uv d(uv) = 2uv(v du + u dv);

d2y = 2d(uv) ¢ (v du + u dv) + 2uv ¢ d(v du + u dv) =

=2(v du + u dv)2 + 2uv(dv du + v d2u + du dv + u d2v) =

=2[(v du + u dv)2 + uv(v d2u + 2du dv + u d2v)]:

Пр и м е р 5. Найти dy и d2y от функции y = arctg uv .

83

d2y = (u2 + v2) d(v du ¡ u dv) ¡ (v du ¡ u dv) d(u2 + v2) = (u2 + v2)2

= (u2 + v2)(v d2u ¡ u d2v) ¡ (v du ¡ u dv)(2u du + 2v dv):

(u2 + v2)2

Заметим, наконец, что если x независимая переменная, то дифференциал n-го порядка от функции y = f(x) вычисляется по фор-

муле

dnf(x) = f(n)(x) dxn;

где dxn = (dx)n.

П р и м е р 6. Найти d2y, если y = sin2 5x (x независимая переменная).

Р е ш е н и е

y0 = 2 sin 5x ¢ cos 5x ¢ 5 = 5 sin 10x; y00 = 50 cos 10x;

d2y = y00 dx2 = 50 cos 10x dx2:

Задачи для практических занятий

Найти первый дифференциал от следующих функций:

84

15. Исследование функции

Схема исследования функции

I.Общие вопросы.

1.О.О.Ф. область определения функции.

2.Вид функции четная, нечетная, периодическая, общего вида.

3.Точки пересечения с осями.

4.Интервалы знакопостоянства. II. Исследование с помощью пределов.

1.Поведение на границе области определения.

2.Асимптоты.

III. Исследование с помощью первой производной.

1.Интервалы возрастания и убывания функции.

2.Максимумы и минимумы функции.

IV. Исследование с помощью второй производной.

87

1.Промежутки выпуклости графика функции (вверх и вниз).

2.Точки перегиба.

M(0; 0) – единственная точка пересечения с осями x и y. На рис. 13 показаны интервалы знакопостоянства функции.

Асимптоты: x = ¡1 и x = 1 – вертикальные асимптоты. Найдем наклонные асимптоты

Таким образом, y = x наклонная асимптота на обоих направлениях (при x ! ¡1 и x ! +1).

Откуда следует, что y0 = 0 при x = 0, x = ¡p3, x = p3. Знаки первой производной указаны на рис. 14.

Рис. 14. Знаки производной y0