RZVM

уравнения, а x1 из первого уравнения, получаем бесчисленное множество решений системы

где переменная x4 может принимать любые числовые значения.

П р и м е р 2. Решить систему

8

> x + y + 2z = ¡1;

<

>2x ¡ y + 2z = ¡4; :4x + y + 4z = ¡2:

31

которая имеет единственное решение x = 1; y = 2; z = ¡2:

Ранг основной матрицы rang A = 3, а ранг расширенной матрицы

¹

rang A = 4. Система решений не имеет.

Задачи для практических занятий

>

:5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 ¡ x5 = 12:

Домашнее задание

Ответы:

4.1. x = 2, y = 5, z = ¡1. 4.2. x = 2, y = 1, z = 3. 4.3. x1 = 1; x2 = 2; x3 = ¡2. 4.4. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1. 4.5. x1 = ¡8, x2 = 3 + x4, x3 = 6 + 2x4. 4.6. x1 = ¡16 + x3 + x4 + 5x5, x2 = 23 ¡ 2x3 ¡ 2x4 ¡ 6x5. 4.7. x = 3, y = ¡2, z = 2. 4.8. x1 = 2, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 1. 4.9.

33

~

или, если все координаты вектора b отличны от нуля, то

Тройка взаимно перпендикулярных векторов i, j, k единичной

длины называется базисом (ортонормированным базисом). Вектор

(~a; b ) = j~aj ¢ jbj cos ':

За ' принимается угол между векторами, не превосходящий ¼. Если

~ ~ ~

~a = 0 или b = 0, то скалярное произведение полагают равным нулю.

Из определения скалярного произведения в частности следует, что (a;~) = ~a2 = j~aj2; два ненулевых вектора перпендикулярны (или,

~

как принято говорить, ортогональны), если (~a; b) = 0.

~

Скалярное произведение векторов ~a = (a1; a2; a3) и b = (b1; b2; b3),

~ ~ ~

заданных в ортонормированном базисе i, j, k, равно сумме произведений соответствующих координат:

~

(~a; b ) = a1b1 + a2b2 + a3b3:

Косинус угла ' между ненулевыми векторами ~a = (a1; a2; a3) и

p 2 2 2 ~ p 2 2 3

где j~a j = a1 + a2 + a3 и jb j = b1 + b2 + b3.

35

Проекция вектора ~a на некоторую ось b, определенную единичным вектором ~e, равно скалярному произведению вектора ~a на единичный вектор ~e :

пр. b ~a = пр.~e ~a = (~a; ~e ) = j~a j cos ';

где ' угол между вектором ~a и осью b.

~

Тройка векторов ~a, b, ~c называется правой тройкой векторов, если наблюдателю из их общего начала обход концов в указанном порядке кажется совершающимся против часовой стрелки. Если обход совершается по часовой стрелке, то тройка векторов называется левой (рис. 4).

Векторным произведением [~a; b ] ненулевых векторов ~a и b назы-

вается вектор, модуль которого равен произведению их модулей на синус угла ' между ними (площадь параллелограмма, построенного

~

на векторах ~a и b):

~ ~

j[~a; b ]j = j~a j ¢ jb j sin ';

~

перпендикулярный ~a и b и направленный так, что тройка векторов ~a,

~ ~

b, [~a; b ] правая (рис. 5). Векторное произведение полагают равным

~

нулю, если хотя бы один из векторов ~a или b равен нулю.

36

D

C

A B

Рис. 7. Объем пирамиды с ребрами AB, AC, AD равен 16 объема параллелепипеда с теми же ребрами

П р и м е р. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки A(1; 2; 3), B(2; 5; 2), C(0; ¡1; 1) и D(3; 0; ¡2) (рис. 7).

Находим векторы, образующие ребра пирамиды:

¡! ¡! ¡!

AB = (1; 3; ¡1); AC = (¡1; ¡3; ¡2); AD = (2; ¡2; ¡5):

Ищем смешанное произведение этих векторов:

Объем пирамиды с ребрами AB, AC и AD равен шестой части объе-

¡! ¡! ¡!

ма параллелепипеда, построенного на векторах AB , AC , AD . Следовательно,

С помощью смешанного произведения можно определить ориен-

~ ~

тацию векторов. Тройка векторов ~a, b, ~c правая, если (~a; b;~c ) > 0,

~

и левая, если (~a; b;~c ) < 0.

~

Векторы ~a, b и ~c называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или в параллельных плоскостях. В противном случае они называются некомпланарными. Для компланарных векторов

39

~

смешанное произведение равно нулю, (~a; b;~c ) = 0. Для некомпланар-

~

ных векторов смешанное произведение отлично от нуля, (~a; b;~c ) 6= 0.

~

Тройка некомпланарных векторов k, m~ и ~n образует базис. Разложение любого вектора ~a по этому базису имеет вид

~ ~

d = xk + ym~ + z~n;

где x, y, z конкретные числа.

П р и м е р. Показать, что векторы

~

k = (1; ¡1; 1); m~ = (2; 1; 1); ~n = (1; ¡2; 2)

образуют базис, и разложить вектор ~a = (1; ¡9; 5) по этому базису.

Р е ш е н и е. Вычислим вначале смешанное произведение

Смешанное произведение отлично от нуля. Следовательно, тройка

~

векторов k, m~, ~n образует базис. Найдем разложение вектора ~a по этому базису. Положим

~

~a = xk + ym~ + z~n = x(1; ¡1; 1) + y(2; 1; 1) + z(1; ¡2; 2):

Выполняя действия над векторами в координатах, получаем

(1; ¡9; 5) = (x + 2y + z; ¡x + y ¡ 2z; x + y + 2z):

Приравнивая соответствующие координаты векторов, приходим к системе линейных уравнений

8

>x + 2y + z = 1;

<

>¡x + y ¡ 2z = ¡9;

:x + y + 2z = 5:

40