2. Распределение вероятности нахождения электрона в объеме потенциального ящика (плотность вероятности) определяется его энергетическим состоянием – энергией, которой обладает электрон.

Графическая интерпретация выводов (рис.1.4).

Рис. 1.4. Первое и второе энергетическое состояние электрона в одномерном потенциальном ящике. Полная энергия Е_i (1), соответствующая ей волновая функция _i(x) (2) и плотность вероятности _i²(x) (3) электрона

1. Энергия электрона, находящегося в потенциальном ящике, не зависит от координаты и может принимать значения , гдеa – параметр ящика; m – масса частицы; n – целочисленный параметр.

2. Плотность вероятности для электрона в ящике (распределение вероятности нахождения электрона в различных точках объема) зависит от энергии частицы.

Электрон в трехмерном потенциальном ящике. Вырожденные энергетические состояния.

Задача о нахождении частицы в трехмерном потенциальном ящике аналогична предыдущей, их граничные условия полностью совпадают: волновая функция на границах ящика обращается в ноль, потенциальная энергия внутри ящика равна нулю (V=0), а за пределами ящика – бесконечности (V=), то есть частица находится в трехмерном потенциальном ящике и не может покинуть его. Единственным отличием является то, что волновая функция для частицы в трехмерном потенциальном ящике является функцией трех пространственных координат: (x,y,z).

Уравнение Шредингера для данного случая представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных с тремя переменными:

^.

Стандартным приемом, которым пользуются при решении такого типа уравнений, является разделение переменных: представление волновой функции в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

,

.

Поскольку правая часть уравнения не зависит от координат, то можно представить полную энергию электрона как сумму трех энергий: E = E_x + +E_y + E_z. Уравнение Шредингера при этом преобразуется в три дифференциальных уравнения, аналогичных волновым уравнениям электрона в одномерном ящике, решение которых уже получено:

,

,

.

Для волновой функции:

, ,,

,

a,b,c – параметры трехмерного потенциального ящика (размеры – длина, ширина, высота); n_x, n_y, n_z – целочисленные параметры – «квантовые числа». Необходимо отметить, что каждой координате соответствует свое квантовое число.

Для энергии:

, ,,

.

Из полученных результатов решения следует:

1. Энергия электрона в трехмерном потенциальном ящике квантована.

2. Каждое энергетическое состояние электрона определяется набором из трех квантовых чисел.

Однако в реальных системах часто встречается ситуация, когда определенное энергетическое состояние (энергия частицы) может быть описано не единственным набором квантовых чисел, то есть более чем одной волновой функцией. Тогда говорят о вырождении энергетического состояния.

Проиллюстрировать явление вырождения по энергии можно на примере частицы в трехмерном потенциальном ящике. Если рассмотреть энергетические состояния частицы в ящике, который представляет собою куб (а=b=c), то выражение для энергии приобретает вид

а – параметр куба (величина ребра).

Составим энергетическую диаграмму состояния частицы в таком ящике, откладывая по вертикальной оси энергию частицы в единицах(рис.1.5).

Рис. 1.5. Энергетическая диаграмма электрона в трехмерном потенциальном ящике:

[n_x, n_y, n_z] – набор квантовых чисел, соответствующий данному энергетическому состоянию

В кубическом потенциальном ящике почти все энергетические состояния в той или иной степени вырождены. Степень вырождения - это число вариантов наборов квантовых чисел (число волновых функций), при помощи которых можно описать данное энергетическое состояние. Снятие вырождения является важной проблемой квантово-механического описания системы. В случае трехмерного потенциального ящика вырождение снимается частично (a=bc) или полностью (abc) при изменении параметров ящика. В реальных системах проблема снятия вырождения является более сложной проблемой.

Энергетическое состояние электрона в кулоновском поле ядра достаточно близко соответствует ситуации нахождения электрона в трехмерном потенциальном ящике. Поэтому все закономерности, которые были получены, а главное дискретность энергетических состояний, распространяются и на атом.