Управление в ТС. Лабораторные работы / Теория / Лабораторная работа №1 (АФХ)

Министерство образования Российской Федерации

Балтийский государственный технический университет “Военмех”

Кафедра систем обработки информации и управления

В. Ю. ЕМЕЛЬЯНОВ

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Конспект лекций

Санкт-Петербург

2003

Математический аппарат частотных характеристик вместе с преобразованием Лапласа является основой аппарата классической теории автоматического управления. Формальной основой методов получения частотных характеристик является теория комплексных функций. Однако ряд известных общих результатов последней при их применении к математическим моделям реальных объектов, рассматриваемым в рамках теории управления, нуждается в уточнении или в устранении неоднозначности.

При получении всех частотных характеристик входной сигнал звена или системы считается гармоническим. При последующем анализе систем частотные характеристики применяются и при наличии произвольных входных сигналов. Такой прием основан на возможности представления сигнала произвольного вида в виде суммы гармоник (ряд Фурье или интеграл Фурье).

Определения и правила получения частотных характеристик рассмотрим сначала применительно к динамическим звеньям.

Входной сигнал звена (рис. 1) рассматривается в форме x₁(t)=sint, то есть считается изменяющимся по синусоидальному закону с амплитудой А=1, фазой =0 и частотой . Значение частоты рассматриваются в диапазоне от  до +. Отрицательные частоты здесь вводятся для удобства построения математического аппарата анализа систем. На практике характеристики получают для частот в диапазоне от 0 до +. В область отрицательных частот их распространяют в соответствии со свойствами частоты или погрешности. Следует помнить, что аналитические выражения для частотных характеристик принято также записывать, подразумевая значение аргумента 0.

И

звестно, что, преобразуя гармонический сигнал, линейное звено может изменить его амплитуду и фазу. Частота сигнала сохраняется. Степени изменения амплитуды и фазы определяются динамическими свойствами звена и зависят от частоты преобразуемого сигнала. Эти эффекты отражаются двумя главными частотными характеристиками – амплитудно-частотной и фазо-частотной.

1. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A() показывает степень усиления или ослабления звеном амплитуды пропускаемого гармонического сигнала в зависимости от его частоты.

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) () показывает зависимость от частоты фазового сдвига, вносимого звеном в пропускаемый гармонический сигнал.

Формально АЧХ и ФЧХ могут быть получены на основе частотной передаточной функции (ЧПФ) звена W(j).

ЧПФ может быть получена из обычной передаточной функции заменой оператора Лапласа s на j

W(j)=W(S)|_s=j.

ЧПФ представляет собой комплексную функцию, то есть каждому фиксированному значению =₁, соответствует значение ЧПФ W₁=W(j_), в общем случае являющееся комплексным числом W₁=a+jb=re^j, где а–вещественная часть, b–мнимая часть, – модуль числа W₁, =arg(W₁)=arctg(b/a) – аргумент числа W₁.

И

нтерпретация комплексного числа W₁ показана на рис. 2. Вещественная и мнимая части здесь являются соответственно горизонтальной и вертикальной координатами изображающей точки, модуль числа совпадает с расстоянием от начала координат до изображающей точки или длиной вектора, проведенного в изображающую точку из начала координат, аргумент числа совпадает с углом наклона такого вектора по отношению к положительной вещественной полуоси (положительное направление отсчета углов – против часовой стрелки).

Если рассматривать частоту как аргумент и изменять в пределах от  до + или от 0 до +, будет изменяться и значение ЧПФ, и всех ее характеристик.

Аналогично комплексному числу ЧПФ может быть представлена в алгебраической (через вещественную и мнимую части) и показательной (через модуль и аргумент) формах:

W(j)=U()+jV()=A()e^j(),

где U() и V() – соответственно вещественная и мнимая части ЧПФ, A() и () – соответственно модуль и аргумент ЧПФ.

АЧХ может быть определена как модуль ЧПФ: A()=|W(j)|.

ФЧХ определяется как аргумент ЧПФ: ()=argW(j).

По аналогии с комплексным числом для АЧХ и ФЧХ можно записать соотношения:

, (1)

, (2)

но пользоваться этими соотношениями для получения характеристик динамических звеньев и систем не рекомендуется.

Причины этого состоят в следующем:

1. Передаточные функции динамических звеньев и особенно систем могут представлять собой достаточно сложные выражения – отношения полиномов относительно s или jстепень которых может достигать 4-5. Преобразование такой дроби к виду U()+jV() весьма трудоемко, а результат будет довольно громоздким. Итоговое выражение вида (1) получается неоправданно сложным и явно неудобно для дальнейшего использования.

2. При получении () в форме (2) следует помнить, что математическая функция arctg x имеет бесконечное множество значений:

arctg x= Аrctg x  n,

где Аrctg x – главное значение, лежащее в диапазоне от -/2 до +/2; n=0,1,2,… С формальной точки зрения все эти значения равноценны. Такая трактовка результата неприемлема при получении ФЧХ, так как последняя должна однозначно характеризовать свойства реального объекта, моделью которого является передаточная функция.

Для устранения неоднозначности и значительного упрощения процедуры получения АЧХ и ФЧХ необходимо использовать следующий способ.

Передаточная функция должна быть представлена в форме дроби вида

, (3)

где z_i - вещественные константы или полиномы относительно s первой или второй степени.

При отсутствии комплексных корней относительно s у числителя и знаменателя W(s) они должны быть разложены на сомножители, содержащие s в первой степени. Один из сомножителей в числителе окажется вещественной константой (коэффициент передачи звена k).

Только при наличии комплексных корней относительно s у числителя или знаменателя W(s) сомножитель z_i оставляют в форме полинома второй степени относительно s, соответствующего такой паре корней.

При выполнении указанных требований ЧПФ будет иметь аналогичный вид:

,

где z_i – комплексные функции например z₁=k, z₂= j, z₃=1+ j T.

Теперь АЧХ и ФЧХ можно определить на основе правил умножения и деления комплексных чисел:

1. Модуль произведения равен произведению модулей сомножителей.

2. Модуль отношения равен отношению модулей числителя и знаменателя.

3. Аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

4. Аргумент отношения равен разности аргументов числителя и знаменателя.

Соответственно для ЧПФ вида (3) получим:

A()=|W(j)|=,

где ;

()=arg z₁+ arg z₂ – arg z₃ – arg z₄.

Рассмотрим подробнее модули и аргументы сомножителей ЧПФ.

1

. z₁=k – вещественная константа. На комплексной плоскости (рис.3) ей соответствует точка 1 с координатой k на горизонтальной (вещественной) оси.

Расстояние до точки 1 от начала координат равно k, вектор, проведенный из начала координат в точку 1, совпадает с положительной вещественной полуосью, следовательно,

|z₁|= k, arg z₁ =0.

Результаты очевидны, так как звено с передаточной функцией W(s)=k масштабирует (усиливает или ослабляет) сигнал, не внося фазового сдвига.

2. z₂= j - на рис.3 такому выражению соответствует изображающая точка 2 на вертикальной (мнимой) оси с координатой При >0 получаем:

|z₂|= , arg z₂ =.

3. z₃=1+ j T – в соответствии с рис. 3 (точка 3) получаем:

, .

Далее везде, как принято в литературе по теории управления, будет использоваться только главное значение арктангенса и записываться с маленькой буквы. Окончательно: arg z₃ =arctg T.

4. z₄=1- jT – в соответствии с рис. 3 (точка 4):

, .

5. z₅= -1+ jT - на рис. 4 такому выражению соответствует изображающая точка 5. Расстояние от начала координат до точки 5 находится аналогично случаям 3 и 4:

.

Угол наклона вектора, направленного в точку 5 из начала координат, ₅ лежит в пределах от до  и не может быть непосредственно определен как главное значение арктангенса. В соответствии с рисунком можно получить: ₅ =  - ₃, где ₃ - аргумент z₃,₃ = arctg T. Окончательно:

arg z₅ =  - arctg T.

Перейдем к сомножителям второго порядка относительно s.

6

. Выражение вида T₁s² + T₂s +1 имеет комплексные корни при условии T₂<2T₁. Соответствующий сомножитель ЧПФ будет иметь вид z₆=T₁²(j)²+T₂j+1. Для выделения его вещественной и мнимой частей и интерпретации на комплексной плоскости приведем его к виду z₆=1-T₁²²+jT₂ и рассмотрим положение изображающей точки при различных значениях аргумента рис. 5).

Горизонтальная координата изображающей точки определяется выражением 1-²T₁², вертикальная - выражением T₂.

При изображающая точка лежит на горизонтальной оси и имеет координату 1. При  arg z₆ =0. Для диапазона частот горизонтальная координата изображающей точки остается положительной, и значение arg z₆ непосредственно определяется как главное значение арктангенса:

.

При .

При аналогично случаю 5 arg z₆ = ₆ и лежит в диапазоне от до . Угол ₆ можно найти как  + ₆', где в силу T₁>1 оказывается отрицательным. Получаемый результат:

принято записывать таким образом, чтобы под знаком арктангенса содержалось положительное выражение:

.

В итоге для всего диапазона положительных частот получим:

Модуль рассматриваемого сомножителя определяется для любых частей одинаково – через его вещественную и мнимую части:

.

Рассмотрим ряд примеров получения АЧХ и ФЧХ динамических звеньев.

Пример 1. Апериодическое звено 1 порядка.

, .

Представим ЧПФ в виде отношения

где z₁ = k, z₂ = jT + 1.

Выражение для АЧХ примет вид:

(4)

Для построения примерного графика АЧХ отметим следующее:

- при 0 ;

- при знаменатель выражения (4) обращается в бесконечность следовательно ;

- при увеличении от 0 до значения A() монотонно убывают;

- модуль является четной функцией, следовательно при рассмотрении частот от - до график АЧХ всегда симметричен относительно вертикальной оси.

Примерный график АЧХ для рассматриваемого звена представлен на рисунке 6.

Выражение для ФЧХ примет вид:

arg z₁ – arg z₂ = 0 – arctg T = – arctg T. (5)

Для построения примерного графика ФЧХ отметим следующее:

- при 0 0– arctg 0 = 0;

- арктангенс является монотонно возрастающей функцией, причем для главного значения арктангенса , следовательно;

- арктангенс является нечетной функцией, следовательно ФЧХ, определяемая в общем случае на основе выражения (2) – также нечетная функция, и график ФЧХ при рассмотрении частот от - до симметричен относительно начала координат.

Примерный график ФЧХ для рассматриваемого примера представлен на рисунке 7.

Пример 2. Колебательное звено.

.

Получим ЧПФ и представим ее в виде дроби, состоящей из простейших сомножителей:

где z₁ = k, z₂ = 1 - ^T₁² + jT₂.

Выражение для АЧХ примет вид:

(6)

Проанализируем его:

- при =0 ;

- ;

При достаточно малых значениях T₂ по сравнению с T₁ полученная функция A() может иметь максимум (резонансный пик). Соответствующее максимуму значение аргумента (частоты) найдем из условия равенства нулю производной:

Экстремумы имеют место на частотах:

₁ = 0, 

Проанализировав знаки на найденных частотах, нетрудно убедиться, что частоте _ соответствует минимум, частотам ₂ и ₃ – максимумы выражения (6). Кроме того, отметим, что вещественные значения _2,3 существуют при – это и есть условие наличия резонансного пика на АЧХ колебательного звена.

П

римерный вид АЧХ для различных соотношений T₁ и T₂ показан на рисунке 8.

Выражение для ФЧХ рассматриваемого звена примет вид:

(7)

Проанализируем его:

- при  = 0 ;

- при оба знаменателя в выражении (7) обращаются в 0, аргументы арктангенсов стремятся к бесконечности, значение арктангенсов достигают , следовательно , и разрыва ФЧХ не имеет;

- при , , .

П

римерные графики ФЧХ для различных соотношений T₁ и T₂ показаны на рисунке 9.

Характеристики на рисунках 8 и 9, как и во всех подобных задачах, построены с учетом четности АЧХ и нечетности ФЧХ.

Пример 3.

.

Получим ЧПФ и представим ее в виде дроби, состоящих из простейших сомножителей:

,

где z₁= k, z₂ = jT₁ +1, z₃ = j z₄ = jT₂ +1.

Выражение для АЧХ примет вид:

Проанализируем полученное выражение:

- при =0 , , приближенно можно записать и очевидно, ;

-

при произведения T₁ и T₂ принимают значения, много большие 1 (T₁>>1, T₂ >>1), приближенно можно записать и очевидно, ;

- все сомножители выражения для A() изменяются монотонно, следовательно, значения A() при увеличении частоты от 0 до монотонно убывают от до 0.

Примерный график представлен на рисунке 10.

Выражение для ФЧХ примет вид:

Проанализируем его:

- при  = 0 ;

- при значение каждого арктангенса достигает , следовательно, ;

- при T₁>T₂ на любой конечной положительной частоте , следовательно, ,и график ФЧХ расположен выше уровня ;

- при T₁<T₂ следует противоположный вывод.

Примерные графики для различного соотношения постоянных времени представлены на рисунке 11.

Пример 4.

,

где , , .

Выражение для АЧХ:

.

Проанализируем его:

- при  = 0 ;

- при малых частотах , , , следовательно, график АЧХ выходит из начала координат вдоль наклонной прямой k;

-

при , , , ;

- все сомножители A() изменяются монотонно.

Примерный график АЧХ представлен на рис. 12.

Выражение для ФЧХ:

.

Д

ля такого выражения:

- ;

- .

С учетом монотонности полученного выражения и нечетности ФЧХ получим примерный график (рис. 13).

Пример 5.

, ;

,

где , , , .

Выражение для АЧХ:

.

Проанализируем его:

- при  = 0 ;

- при малых частотах, где , , , , , , следовательно, начальный участок АЧХ имеет вид параболы, выходящей из начала координат;

-

при , , и с учетом наличия четвертой степени частоты в , то есть .