Конспект ТАУ / Лекция 14

Лекция 14. Применение критерия устойчивости Найквиста с использованием логарифмических частотных характеристик. Определение запасов устойчивости

Критерий Найквиста обеспечивает анализ устойчивости также и на основе логарифмических частотных характеристик.

Для общего случая удобно использовать форму критерия, основанную на подсчете переходов. При этом следует учитывать, что переходам АФХ через горизонтальную ось левее точки (-1; 0j) на комплексной плоскости для логарифмических характеристик будут соответствовать переходы ЛФЧХ  через горизонтальную ось на участках, где ЛАХ L()>0. Положительным является переход в направлении увеличения значений , то есть сверху вниз, отрицательным – переход в обратном направлении.

Поскольку логарифмические частотные характеристики строятся для положительных частот, критерий сводится к соблюдению равенства:

,

где n₍₊₎ – количество «положительных» переходов, n_(-) – количество «отрицательных» переходов, l - количество корней знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Для систем, нейтрально устойчивых в разомкнутом состоянии, дополняющие АФХ дуги принимают вид вертикальных прямых на соответствующих частотах:

- для нулевого корня от уровня =0 до ;

- для мнимого корня вверх на , то есть в пределах разрыва ЛФЧХ.

Вернемся к некоторым рассмотренным выше примерам.

Рисунок 106 демонстрирует применение критерия Найквиста для замкнутой системы с единичной обратной связью при

, T₁<T₂.

На рисунке 106а представлена АФХ разомкнутой системы, обеспечивающая устойчивость замкнутой системы. На рисунке 106б соответствующие ей логарифмические частотные характеристики. Для рассматриваемого случая l=1 и на частоте, стремящейся к нулю, имеет место положительный «полупереход» ЛФЧХ через горизонтальную ось, так как 0=-180. Таким образом, для устойчивости замкнутой системы (, ) требуется, чтобы на малых частотах имело место L()>0, что будет при k>1. Это и есть условие устойчивости для рассматриваемой системы.

Для системы нейтрально устойчивой в разомкнутом состоянии с передаточной функцией

дополняющая АФХ дуга бесконечно большого радиуса (рисунок 107а) для логарифмических частотных характеристик превратится в отрезок прямой, дополняющий ЛФЧХ при , там, где , от =0 до (рисунок 107б), так как нулевой корень здесь один.

Для рассматриваемой системы l=0. Поэтому для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы единственный – отрицательный – переход ЛФЧХ через горизонтальную ось имел место за пределами участка, где L()>0. Тогда получим . В результате приходим к условию, полученному ранее на основе АФХ: L(₁)<0 или , где частота ₁ определяется из условия .

Для системы с передаточной функцией

имеем l=1, r=3. ЛФЧХ должна быть дополнена при отрезком от =0 до (рисунок 108б). Это дополнение обеспечивает отрицательный переход ЛФЧХ через горизонтальную ось, который должен быть скомпенсирован положительным. В результате приходим к условию, полученному ранее на основе АФХ: L(₁)>0 или , где частота ₁ определяется из условия .

Для систем устойчивых и нейтрально устойчивых в разомкнутом состоянии применение критерия Найквиста с использованием логарифмических частотных характеристик может быть сведено к сравнению значений двух частот, на которых характеристики пересекают горизонтальную ось: ₁ для ЛФЧХ () и ₂ для ЛАХ (L(₂)=0). Частоту ₂ называют частотой среза.

Если ЛФЧХ пересекает горизонтальную ось снизу вверх (в отрицательном направлении), для устойчивости замкнутой системы достаточно выполнения неравенства ₁>₂. Это условие абсолютной устойчивости замкнутой системы.

Если ЛФЧХ пересекает горизонтальную ось сверху вниз (в положительном направлении), получаем условие условной устойчивости замкнутой системы: ₁<₂.

При совпадении ₁ и ₂ получаем колебательную границу устойчивости.

Важный практический интерес представляет вопрос о возможности использования для анализа устойчивости асимптотических ЛАХ, что в большинстве случаев значительно упрощает решение рассматриваемых задач.

Вспомним, что при отсутствии комплексных корней знаменателя передаточной функции погрешности асимптотической ЛАХ по отношению к точной достигают на сопрягающих частотах максимальных значений 3, 6 или 9 Дб в зависимости от изменения наклона асимптотической ЛАХ на конкретной частоте. При наличии комплексных корней погрешность на соответствующей сопрягающей частоте или на близкой к ней резонансной может достигать любых значений.

Указанные значения погрешностей достаточно велики для того, чтобы использование асимптотической ЛАХ в ряде случаев приводило к получению неверных результатов анализа устойчивости, как количественно, так и качественно.

Здесь следует учесть, что по мере удаления от сопрягающей частоты влево или вправо погрешность асимптотической ЛАХ снижается: на расстоянии 0,3 декады от сопрягающей частоты она уменьшится примерно в 3 раза, на расстоянии 0,5 декады от сопрягающей частоты – более, чем в 7 раз.

Поэтому общая рекомендация по вопросу о возможности использования асимптотических ЛАХ для анализа устойчивости сводится к следующему: в тех случаях, когда частоты ₁ и ₂, с которыми связаны основные расчеты, оказываются на расстоянии менее 0,3 декады от сопрягающих частот, требуется уточнение результатов расчета на основе точных выражений для ЛАХ или АЧХ.

Критерий устойчивости Найквиста является основой для определения показателей качества системы: запасов устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде L_a показывает, во сколько раз нужно изменить коэффициент передачи разомкнутой системы, чтобы перевести устойчивую замкнутую систему на границу устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде может быть определен по АФХ (рисунок 109) или логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Запас устойчивости по амплитуде чаще всего выражают в децибелах.

Для абсолютно устойчивой системы (рисунок 109а) L_a показывает, во сколько раз нужно увеличить коэффициент передачи для достижения границы устойчивости: , где , а частота _определяется по условию или .

Для условно устойчивой системы (рисунок 109б) L_a показывает, во сколько раз нужно уменьшить коэффициент передачи для достижения границы устойчивости: , где , а частота _определяется из тех же соображений.

Запас устойчивости по фазе _ показывает, какой по абсолютной величине дополнительный отрицательный фазовый сдвиг нужно добавить к фазовому сдвигу, обеспечиваемому разомкнутой системой, чтобы перевести устойчивую замкнутую систему на границу устойчивости. В соответствии с этим определением графически по АФХ запас по фазе может быть найден как угол между отрицательной вещественной полуосью и прямой, проведенной из начала координат в точку пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса. Именно на такой угол нужно повернуть АФХ, чтобы она пересекла горизонтальную ось в точке (-1; 0j), что соответствует границе устойчивости. Этот угол может быть найден по соотношению: , где ₂ – частота среза, определяемая по условию .

Следствием вышесказанного с учетом соотношения является способ определения запасов устойчивости по амплитуде и фазе по логарифмическим частотным характеристикам: на рисунке 110а для абсолютно устойчивой, на рисунке 110б для условно устойчивой системы.

В качестве примера проанализируем устойчивость замкнутой системы с единичной отрицательной обратной связью по заданной асимптотической ЛАХ разомкнутой системы.

По асимптотической ЛАХ с учетом заданных масштабов восстанавливаем передаточную функцию разомкнутой системы:

и значения параметров T₁=1,25; T₂=0,5.

Наклоны участков асимптотической ЛАХ: -60; -40; -20 Дб/дек.

Теперь найдем опорную точку первого участка асимптотической ЛАХ и рассчитаем коэффициент передачи разомкнутой системы: L_ас(2)=8Дб; L_ас(0,8)=24Дб. Координаты опорной точки: L⁽¹⁾(1)=18Дб. Из уравнения 20lgk=18 найдем k=8.

Для системы третьего порядка анализ устойчивости проще всего выполнять с помощью критерия Гурвица. Составим характеристический полином и требуемый определитель Гурвица:

D(s)= s³+kT₁T₂s²+k(T₁+T₂)s+k,

.

Подстановка в определитель количественных данных задачи позволяет сделать вывод об устойчивости системы.

.

Теперь найдем условие устойчивости:

,

,

из которого следует, что система условно устойчива.

Найдем критический коэффициент передачи

,

и запас устойчивости по амплитуде:

,

.

Получим выражение для ФЧХ:

,

и с учетом известной частоты среза, удаленной более, чем на 0,3 декады от ближайшей сопрягающей частоты, найдем запас устойчивости по фазе:

,

.

Полностью логарифмические характеристики представлены на рисунке.