Конспект ТАУ / Лекция 12

Лекция 12. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Наиболее широкие возможности анализа и синтеза систем предоставляют частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста.

Критерий Михайлова предусматривает работу с характеристическим полиномом замкнутой системы

D(s)=a₀sⁿ+a₁s^n-1+…+a_n.

После подстановки s=j получим так называемый характеристический комплекс:

,

где

,

,

,

-

соответственно вещественная и мнимая части, модуль и аргумент характеристического комплекса.

Характеристический комплекс также принято отображать на комплексной плоскости в виде годографа. Годограф характеристического комплекса называют кривой Михайлова.

Выразим характеристический комплекс через корни характеристического полинома:

.

Каждый сомножитель в полученном выражении представляет собой комплексную функцию частоты, причем , где _I – аргументы отдельных сомножителей. Аналогичная сумма будет иметь место для приращений аргументов при определенном изменении частоты.

Рассмотрим поведение аргументов при изменении частоты от 0 до .

- для отрицательного вещественного корня s₁=- приращение аргумента (угол поворота изображающего вектора на комплексной плоскости) для выражения составит (рисунок 91а);

- для положительного вещественного корня s₂= приращение аргумента для выражения составит (рисунок 91б);

- для пары комплексно-сопряженных корней c отрицательной вещественной частью s_3,4=-±j приращение аргумента для выражения составит (рисунок 92)

;

- для пары комплексно-сопряженных корней c положительной вещественной частью s_5,6=±j приращение аргумента для выражения составит (рисунок 93)

;

- для нулевых корней и пар мнимых корней углы поворота изображающего вектора будут равны нулю, так как он все время совпадает с вертикальной осью.

Следовательно, для устойчивой системы при изменении частоты от 0 до полное приращение аргумента характеристического комплекса составит , где n – порядок характеристического полинома системы. В этом и состоит необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы, называемое критерием устойчивости Михайлова.

Отметим также следующее:

- при наличии у характеристического полинома l корней в правой полуплоскости получим ;

- при изменении частоты в диапазоне от - до полное приращение аргумента удваивается.

Если обратиться к комплексной плоскости, можно сформулировать рассматриваемый критерий следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы полный угол поворота изображающего вектора на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до составил , где n – порядок характеристического полинома системы.

Выполнение этого условия можно проверять путем построения кривой Михайлова.

Для устойчивой системы кривая Михайлова начинается на положительной горизонтальной полуоси (при D(0)=a_n), имеет плавную спиралевидную форму (расходящаяся спираль), проходит последовательно n квадрантов в направлении против часовой стрелки и уходит в бесконечность в n-ом квадранте (рисунок 94).

Для системы, находящейся на апериодической границе устойчивости (a_n=0), кривая Михайлова выходит из начала координат (рисунок 95а).

Для системы, находящейся на колебательной границе устойчивости, наличие пары мнимых корней s_7,8=±j приводит к обращению характеристического комплекса в ноль при =₀=, то есть на частоте незатухающих колебаний в системе кривая Михайлова пройдет через начало координат (рисунок 95б):

,

то есть одновременно имеет место

и .

Примеры кривых Михайлова для неустойчивых систем приведены на рисунке 96.

Для использования данного критерия можно обойтись без построения кривой Михайлова. Пронумеруем последовательно частоты, соответствующие точкам пересечения кривой Михайлова с осями координат (рисунок 97).

Частоты, соответствующие точкам пересечения с вертикальной осью, получат нечетные номера:

,

с горизонтальной – четные:

.

Таким образом, критерий устойчивости Михайлова сводится к системе неравенств:

.

При _ получим апериодическую границу устойчивости, при _i=_i+1 - колебательную. Нарушение хотя бы одного неравенства будет признаком неустойчивости системы.

В качестве примера получим условие устойчивости для системы, показанной на рисунке 88.

Составим характеристический полином

D(s)=T₁T₂s³+(T₁+T₂)s²+s+k

и характеристический комплекс

.

Выделим его вещественную и мнимую части и составим уравнения:

.

.

Найдем их положительные решения и составим неравенства в соответствии с критерием Михайлова:

,

,

: .

Решив последнее неравенство относительно коэффициента передачи, получим условие устойчивости:

.