Конспект ТАУ / Лекция 2

Лекция 2. Основные формы математического описания систем управления: структурно-динамическая схема

В качестве основных выделим следующие формы математического оптсания систем управления:

1. Структурно-динамическая схема.

2. Передаточные функции.

3. Общие дифференциальные уравнения.

4. Система дифференциальных уравнений.

5. Векторно-матричная форма.

Структурно-динамическая схема

При составлении математической модели система разбивается на динамические звенья. Для них составляются математические модели. После этого динамические звенья объединяются в структурно-динамическую схему.

Структурно-динамическая схема (структурная схема) системы отражает динамические свойства отдельных звеньев системы и их взаимодействие.

Динамическое звено – это устройство любой физической природы и любого конструктивного исполнения, описываемое дифференциальным уравнением определенного вида. То есть главное здесь – конкретное математическое описание. Именно с математическими моделями работает теория управления. Поэтому математическая модель звена или системы должна правильно отображать их свойства, существенные с точки зрения решаемой задачи.

Здесь полезно привести два примера:

Электрическая схема, электрический двигатель, кастрюля с супом, летательный аппарат, студенческая аудитория и пр. при определенных допущениях, определяемых условиями задачи, оказываются одним и тем же динамическим звеном, то есть демонстрируют аналогичные динамические свойства. Формально это определяется тем, что для всех этих объектом может быть получено одно и то же дифференциальное уравнение (различие может быть только в численных значениях коэффициентов).

Для одного и того же реального объекта могут быть составлены разные модели динамического звена – тоже в зависимости от условий задачи и допущений.

Фундаментальным свойством динамического звена является направленность действия. То есть с формальной точки зрения динамическое звено преобразует свои входные сигналы в выходные и ни в коем случае не наоборот.

Под входными сигналами понимают конкретные физические параметры, характеризующие воздействие на динамическое звено предшествующих по структурной схеме системы звеньев или внешней среды. Под выходными сигналами понимают конкретные физические параметры, характеризующие воздействие рассматриваемого звена на последующие по структурной схеме системы звенья.

В соответствии со сказанным для динамического звена используются условные обозначения, показанные на рисунке 15: а) звено с одним входом и одним выходом; б) звено с двумя входами и тремя выходами.

Рисунок 15.

Свойство направленности действия можно сформулировать несколько иначе: характеристики преобразования звеном входных сигналов не зависят от характеристик последующих звеньев, от их наличия или отсутствия.

Разбивать систему на динамические звенья необходимо так, чтобы каждое звено обладало свойством направленности действия. Поэтому часто структура модели отличается от функциональной схемы системы, отражающей состав реальных элементов. Если отдельные элементы системы не обладают рассматриваемым свойством, они могут разбиваться на динамические звенья или объединяться в них.

Для динамического звена используются две основные формы математической модели: дифференциальное уравнение (в простейших случаях - алгебраическое) и передаточная функция.

Дифференциальное уравнение является универсальной формой модели динамического звена. Передаточная функция в строгом смысле может применяться только для линейных звеньев.

Дифференциальное уравнение должно составляться в строгом соответствии со следующими правилами:

1. В дифференциальном уравнении звена должны присутствовать только входные и выходной сигнал (при наличии нескольких выходных сигналов для каждого составляется отдельное уравнение).

2. В левой части уравнения должны присутствовать только выходной сигнал и его производные, в правой – входные сигналы и их производные.

3. В левой части уравнения выходной сигнал должен иметь коэффициент единица. Если присутствуют только производные выходного сигнала, коэффициент единица должен быть при низшей производной.

Передаточная функция звена или системы – это отношение изображений по Лапласу его выходного и входного сигналов (рисунок 15а) при нулевых начальных условиях и отсутствии других входных сигналов:

.

В соответствии с этим определением можно сделать вывод, что при наличии нескольких входных и выходных сигналов для рассматриваемого звена или системы должен рассматриваться набор передаточных функций – от каждого входа к каждому выходу. Так для звена с тремя входами и двумя выходами (рисунок 15б) должны быть получены шесть передаточных функций – от каждого входа к каждому выходу.

Переход от дифференциального уравнения звена к передаточной функции основан на свойстве линейности преобразования Лапласа и теореме дифференцирования. Содержащееся в определении передаточной функции требование учета нулевых начальных условий упрощает выражение для изображения производной. Оператор Лапласа при нулевых начальных условиях приобретает смысл символа дифференцирования.

Для отображения динамических свойств звеньев на структурной схеме принято использовать передаточные функции.

Рассмотрим пример составления модели следящей системы (рисунок 16).

В рассматриваемой системе задающим воздействием является угол поворота входного вала g=₁, выходным сигналом – угол поворота выходного вала y=₂. В системе также присутствует возмущающее воздействие f=M_н.

Разобьем систему на динамические звенья и выберем для них входные и выходные сигналы (рисунок 17). Примем, что свойство направленности действия у всех звеньев электрической природы обеспечено большой величиной сопротивления нагрузки, у звеньев механической природы – учетом массы всей вращающейся части в уравнениях двигателя посредством приведенного момента инерции.

Составим уравнения отдельных звеньев.

Потенциометрический датчик (ПД) при достаточно большом входном сопротивлении усилительно-преобразовательного устройства описывается линейным алгебраическим уравнением:

U_=k₁(₁-₂),

которое остается линейным и после перехода к изображениям по Лапласу.

В результате для ПД получаем две передаточные функции – для каждого из входных сигналов:

, .

Для усилительно-преобразовательного устройства описание аналогично.

U_я=k₂U_,

.

Для электродвигателя (ЭД) запишем уравнение равновесия напряжений в цепи якоря:

(2.1)

и равновесия моментов на валу двигателя:

. (2.2)

В уравнениях (2.1)-(2.2): i – ток в якоре двигателя; R_я – активное сопротивление цепи якоря; L_я – индуктивность цепи якоря; e=c_e - противо-ЭДС, генерируемая на катушке якоря за счет его вращения в магнитном поле; J_п – приведенный момент инерции вала двигателя вместе с выходным валом редуктора и нагрузкой; M=c_мi – вращающий момент двигателя; М_н – момент нагрузки; с_е, с_м – константы.

Уравнения (2.1)-(2.2) полностью описывают процессы в ЭД, но не могут рассматриваться в качестве модели динамического звена, пока не выполнены сформулированные выше правила. Для перехода к уравнению динамического звена сначала подставим выражение для М в уравнение (2.2), выразим из него ток через выходной сигнал звена  и возмущающее воздействие М_н и подставим ток в уравнение (2.1):

,

.

Теперь сгруппируем выходной сигнал звена и его производные в левой части уравнения, входные сигналы – в правой части:

и для выполнения третьего требования разделим уравнение на с_е:

.

Структура полученного уравнения отражает наличие у динамического звена тех или иных свойств. Величины коэффициентов – глубину этих свойств. Поэтому коэффициенты уравнений динамических звеньев имеют различный смысл, названия и обозначения. Коэффициенты при производных – постоянные времени, коэффициенты при входных сигналах в правой части – коэффициенты передачи. При введении постоянных времени следует заботиться об обеспечении одинаковой размерности у всех слагаемых в уравнении (первая производная имеет размерность с^-1, вторая – с^-2 и так далее; постоянная времени имеет размерность «с»). При появлении в уравнении производных более высокого порядка коэффициенты при них должны содержать произведения постоянных времени.

Перепишем полученное уравнение с использованием постоянных времени и коэффициентов передачи:

, (2.3)

где введены стандартные обозначения для параметров ЭД постоянного тока: - электромеханическая постоянная времени; -электрическая постоянная времени; - коэффициент передачи по напряжению якоря; - коэффициент передачи по моменту нагрузки.

Для перехода к передаточным функциям вспомним, что в соответствии с теоремой дифференцирования изображение по Лапласу производной оригинала x(t) связано с изображением X(s) самого оригинала следующим образом:

,

а при нулевых начальных условиях, что оговаривается в определении передаточной функции

и .

С учетом этого перейдем от (2.3) к операторному уравнению для изображений:

.

Операторное уравнение является алгебраическим и допускает следующее преобразование:

.

Теперь, поочередно пренебрегая одним из входных сигналов звена и деля уравнение на выражение в скобках в правой части, получим передаточные функции:

,

.

Редуктор (Р) с учетом выбора входного и выходного сигналов оказывается интегрирующим звеном:

,

,

,

где - коэффициент передачи, j – передаточное число редуктора.

Теперь можем составить структурно-динамическую схему системы (рисунок 18), на которой динамические свойства звеньев описываются передаточными функциями.