Конспект ТАУ / Лекция 17

Лекция 17. Расчет установившейся ошибки в системах управления. Структурные признаки астатизма. Коэффициенты ошибок

Установившейся (статической) ошибкой называют постоянное значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t), которое она приобретает по окончании переходного процесса: , рисунок 116.

Очевидно, установившаяся ошибка зависит от законов изменения и численных характеристик входных сигналов системы. Поэтому при ее определении принято рассматривать так называемые типовые входные сигналы, законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени. Например, для задающего воздействия:

, , и так далее.

При наличии нескольких воздействий на линейную систему для определения x_уст используется принцип суперпозиции – реакция линейной системы на совокупность входных сигналов совпадает с алгебраической суммой ее реакций на каждый из сигналов в отдельности:

,

где каждое слагаемое, или составляющая сигнала ошибки, определяется для i-го входного сигнала при условии, что остальные тождественно равны нулю. Такой подход полностью соответствует определению передаточной функции и позволяет выполнять расчет установившейся ошибки на основе структурной схемы системы.

Рассмотрим порядок расчета установившейся ошибки на следующем достаточно общем примере (рисунок 117).

В соответствии с принципом суперпозиции установившаяся ошибка будет определяться здесь в виде суммы трех составляющих .

Изображение по Лапласу ошибки от задающего воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке при известном изображении задающего воздействия G(s):

,

где (s) – основная передаточная функция замкнутой системы. Для структурной схемы на рисунке 117

,

где - передаточная функция разомкнутой системы, или прямой цепи системы, для рассматриваемого примера.

Непосредственно для расчета установившегося значения ошибки от задающего воздействия используют теорему о конечном значении для преобразования Лапласа:

В результате:

.

Изображение по Лапласу ошибки от возмущающего воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от возмущения при известном изображении возмущающего воздействия F(s):

,

где _f(s) –передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию,

;

W_f(s) – передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (передаточная функция участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до выхода системы).

Для структурной схемы на рисунке 8 необходимо учитывать два возмущающих воздействия, приложенные в различные точки системы.

Для f₁: ,

,

.

Для f₂: ,

,

.

Расчет упрощается для системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 118):

,

,

где k=k₁k₂k₃ – коэффициент передачи разомкнутой системы.

Найдем установившуюся ошибку для некоторых типовых вариантов задающего воздействия.

При получим:

.

При получим:

.

При получим:

.

Если установившаяся ошибка тождественно равна нулю при каком-либо типовом варианте входного сигнала, независимо от его численных характеристик, систему называют астатической по рассматриваемому входному сигналу.

Количество типовых вариантов входного сигнала – членов степенного ряда, при которых установившаяся ошибка тождественно равна нулю, определяет порядок астатизма.

Рассматриваемая система обладает свойством астатизма второго порядка по задающему воздействию.

Рассмотрим установившуюся ошибку от возмущения f₁:

,

,

где – коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₁.

При получим:

.

При получим:

.

При получим тот же результат.

Отметим, что по возмущению f₁ рассматриваемая система не является астатической. Кроме того, она не в состоянии отработать два последних варианта входного сигнала.

Рассмотрим установившуюся ошибку от возмущения f₂:

,

,

где – коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₂.

При получим:

.

При получим:

.

При получим:

.

По возмущению f₂ рассматриваемая система имеет астатизм первого порядка. Она не в состоянии отработать возмущающее воздействие, изменяющееся во времени с постоянным ускорением.

Подведем некоторые итоги:

1. Наличие и глубина свойства астатизма зависят от точки приложения входного сигнала.

2. Постоянные времени звеньев системы не влияют на ее точность.

3. Увеличение значения коэффициента передачи разомкнутой системы приводит к снижению величины установившейся ошибки.

Для систем с единичной отрицательной обратной связью существуют достаточно простые структурные признаки астатизма.

Рассмотрим структуру, показанную на рисунке 119.

В общем случае передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующей форме:

,

где l0.

Тогда получим:

и для общего вида задающего воздействия , которому соответствует изображение ,

.

Результат нахождения этого предела зависит от соотношения показателей степени:

- при l>v установившаяся ошибка равна нулю независимо от остальных параметров, то есть имеет место астатизм;

- при l=v получаем константу;

- при l<v установившаяся ошибка стремится к бесконечности, то есть система не в состоянии отработать входной сигнал.

Учитывая, что минимальное значение v нулевое, получаем условие астатизма по задающему воздействию: l>0.

Таким образом, структурный признак астатизма по задающему воздействию в системе с единичной отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы, или интегрирующих звеньев в прямой цепи системы.

Нетрудно также убедиться, что положительное значение l совпадает с порядком астатизма.

Для получения признака астатизма по возмущающему воздействию представим передаточные функции на рисунке 10 в форме:

,

,

где l₁+l₂=l, k₁k₂=k, m₁+m₂=m, n₁+n₂=n, причем и .

Тогда получим:

и для общего вида возмущающего воздействия , которому соответствует изображение ,

.

Все вышеприведенные выводы можно повторить для показателя степени l₁.

Таким образом, структурный признак астатизма по возмущающему воздействию в системе с единичной отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной функции участка системы до точки приложения воздействия, или интегрирующих звеньев на том же участке.

Более общий подход к оценке точности линейных систем управления основан на получении и использовании коэффициентов ошибок. Рассмотрим его на примере анализа реакции системы на задающее воздействие.

Если рассматривать произвольный закон изменения задающего воздействия g(t), то эта функция времени может быть разложена в степенной ряд относительно аргумента t. Члены степенного ряда, как известно, находятся через производные

, , …, , …

В общем случае ряд бесконечен. Поэтому с практической точки зрения рассматривать такое представление сигнала целесообразно только при достаточно плавном его изменении, когда можно ограничиться конечным числом членов ряда, имея в виду, что при n большем некоторого m можно принять

, n>m.

Для задачи оценки установившейся ошибки при с формулированное допущение вполне корректно, так как в противном случае эта задача не имеет смысла.

Коэффициенты ошибки получают разложением передаточной функции замкнутой системы по ошибке в степенной ряд (ряд Тейлора) относительно аргумента s:

,

где коэффициенты разложения в общем случае находят как значения производных в точке s=0:

.

Передаточные функции, представляющие собой отношения полиномов, при достаточно высоком порядке системы могут оказаться слишком сложными для дифференцирования. Поэтому на практике коэффициенты их разложения в ряд чаще находят путем деления полиномов – числителя на знаменатель.

С учетом разложения передаточной функции в ряд можно записать изображение по Лапласу сигнала ошибки в следующей форме:

.

Отметим, что с учетом сформулированного выше допущения такое представление сигнала ошибки соответствует или .

Перейдя к оригиналу с учетом теоремы дифференцирования получим:

.

Вернемся к рассмотренному выше примеру и предположим, что задающее воздействие изменяется по произвольному закону, но при достаточно больших значениях времени этот закон аппроксимируется выражением .

Найдем коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке

в степенной ряд.

Здесь сразу можно отметить, что номер первого ненулевого члена ряда определяется низшей степенью аргумента s в числителе дроби, то есть первые два коэффициента c₀ и c₁ здесь получаем тождественно равными нулю.

Далее получим:

В результате получаем , , , и так далее.

Найдем производные задающего воздействия:

, , .

Ясно, что для определения установившейся ошибки достаточно первых трех коэффициентов:

.

В заключение отметим, что порядок астатизма системы по какому-либо входному сигналу совпадает с количеством нулевых коэффициентов ошибки, получаемых в разложении в ряд передаточной функции по ошибке от данного входного сигнала.