20. Функции, заданные параметрически. Пример. Первая и вторая производная функции, заданной параметрически.

Предположим, что функциональная зависимость отне задана непосредственно, а через промежуточную величину —. Тогда формулы

задают параметрическое представление функцииодной переменной.

Пример:

Задание.Найти вторую производнуюдля функциизаданной параметрически.

Решение.Вначале находим первую производнуюпо формуле:

Производная функции по переменнойравна:

производная по:

Тогда

Вторая производная равна

Ответ.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции.

Пусть  определены и дифференцируемы при , причем и  имеет обратную функцию .

Сначала переходим от параметрического задания к явному. При этом получаем сложную функцию , аргументом которой является x.

По правилу нахождения производной сложной функции имеем: . Так как  и  обратные функции, то по формуле производной обратной функции , поэтому .

Для нахождения производной второго порядка параметрически заданной функции, можно к найденной производной первого порядка вновь применить формулу:

21. Функции, заданные неявно. Пример. Производная неявной функции. Производные старших порядков.

22. Возрастание и убывание в точке. Условия возрастания и убывания функции.

Возрастание и убывание в точке:

- Функция f(х) называется возрастающей в точке хо, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительногоhимеет место условие:

f(хо-h)<f(хо)<f(хо+h)

-Функция f(x) называется убывающей в точке хо, в окрестности которой она определена, если для как угодно малого положительногоhимеет место условие:

f(хо-h)>f(хо)>f(хо+h)

Условия возрастания и убывания ф-ии:

Достаточное условие:

-Для того чтобы ф-ия f(x), дифференцируемая в точке хо (а,b), возрастала (убывала) в точке хо, достаточно, чтобыf’(хо)>0 (f’(хо)<0).

Необходимые условия:

-Для того чтобы ф-ия f(x), дифференцируемая в точке хо (а,b), возрастала (убывала) в точке хо, необходимо, чтобы ее производная в точке хобыла неотрицательнойf’(хо)>=0 (неположительнойf’(хо) <=0).

-Если ф-ия f(x) определена на отрезке [a,b], дифференцируема в точкахx(a,b) иf’(x)>0, (f’(x)<0), то ф-ияf(x) возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

23. Экстремум функции. Теорема Ферма. Геометрический смысл.

Определение 1.Точка называетсяточкой максимума[точкой минимума] функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех значений из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называетсямаксимумом(минимумом) функции .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называютсяточками экстремумафункции , а значения функции в этих точках —экстремумамифункции .

Теорема 1. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то является точкой максимума функции .

Теорема 2. Если функция непрерывна в точке , а на промежутке и на промежутке , то — точка минимума функции .

Теорема 3.Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки , и непрерывна в точке . Тогда, если меняет знак с «» на «» (с «» на «») при переходе через точку , то — точка минимума (точка максимума) функции .

Теорема Ферма. (Ферма, 1601-1665 – французский математик).

Пусть функция f(x), определенная в интервале (a, b), принимает в некоторой точкеx=cэтого интервала наибольшее или наименьшее значение. В таком случае, если в точкеx=cсуществует производная этой функции, то она равна нулю.

Доказательство. Пустьf(с)=M, гдеМ– наибольшее значение функции в интервале (a, b). Покажем, чтоf^/(c)=0.По определению производной:f^/(c)=.

     Так как в точке x=c функция принимает наибольшее значение, то при любом знакеxимеем:f(c)f(c+x) иf(c+x)-f(c)0

Отсюда, если x>0, то  и по теореме 2 имеем:f^/(c)=.

Если же x<0, то  иf^/(c)=.

Сравнивая полученные для f^/(c)неравенства видим, что оба они удовлетворяются только тогда, когдаf^/(c)=0, что и требовалось доказать. Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функцииy=f(x)в точке экстремума, в которой функция дифференцируема, параллельна осиOx (так какy^/=tg=0),=0.