15. Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и- точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точкеназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента при. Обозначается

16. Производная функция. Свойства производных(5 свойств).

Пусть в некоторой окрестноститочкиопределенафункцияПроизводной функциив точкеназываетсяпредел, если он существует,

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ

1.
2.
3.
4.			(при		);
5.

17. Вычисление табличных производных: X ², sin X. Производная обратной функции.

Дифференцируемая монотонная функция f:]a, b[ → R с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцируемую функцию f -1, производная которой вычисляется по формуле

18. Дифференцируемая функция. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x.

геометрический смысл дифференциала:

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Dx.

19. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Пример. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Дифференциалы старших порядков.

Приращение  функции  представимо в виде:

где функция  является бесконечно малой функцией при стремлении аргумента  к нулю. Так как , то

В силу того, что второе слагаемое  является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому

А так как в нахождении дифференциал значительно проще, чем приращение функции, то данная формула активно используется на практике.

Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:

Пример:

Задание. Вычислить приближенно  , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке  . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины  и  выбираются так, чтобы в точке  можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а  было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что  , то есть , .

Вычислим значение функции  в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Тогда

Итак,

Ответ. 

Инвариантность формы первого дифференциала:

Если x - независимая переменная, то dx = x - x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f'(x₀)dx.     (3)

Если x = φ(t) - дифференцируемая функция, то dx = φ'(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Дифференциалом -го порядкафункцииназывается дифференциал от дифференциала-го порядка этой функции, то есть