9. Замечательные пределы. Вывод 3-5 Замечательных пределов.

10. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Порядок малости, эквивалентность. Теорема о замене функции на эквивалентную.

11. Точки разрыва 1 и 2 рода. Непрерывность.

12. Элементарные функции. Их непрерывность. Действия над непрерывными функциями.

13. Локальные свойства непрерывной в точке функции: ограниченность, сохранение знака.

Если функция f(x) непрерывна в точке x₀, то существует окрестность O(x₀), в которой f(x) ограничена.

Доказательство следует из утверждения об ограниченности функции, имеющей предел.

Если функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x₀) ≠ 0, то существует окрестность точки x₀, в которой f(x) ≠ 0, причем знак f(x) в этой окрестности совпадает со знакомf(x₀).

14. Теорема Коши. 1-ая и 2-ая теоремы Вейерштрасса (одна на выбор с доказательством).

Теорема Коши:

Пусть функции  и  непрерывны на  и дифференцируемы на ,  на . Тогда существует хотя бы одна внутренняя точка , для которой выполняется равенство .

Доказательство:

Введем функцию . (непрерывная на  и дифференцируемая на ).

Функция  удовлетворяет Теореме Ролля  существует , для которой: , ,,.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)). С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞  (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметьlimk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой  теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b]ограничена.  Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d .  Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c.

Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], гдеc=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.