3. Основные элементарные функции и их графики.

4. Понятие предела функции на бесконечности на языке ε-δ. Примеры.

5. Определения предельной, изолированной, внутренней точки. Открытое и замкнутое множество. Понятие предела функции в точке на языке ε-δ.

Определение предела по Коши.

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку  x = a. (При этом не требуется, чтобы значение f (a) было обязательно определено.) Число L называется пределом функции f (x) при , если для каждого  существует такое число , что

при условии

Данное определение предела известно как  - определение или определение Коши. Открытое и замкнутое множество.

Открытое множество X - это такое, что для любой точки в нём найдётся окрестность, которая целиком принадлежит X. Замкнутое множество - это такое, что его дополнение - открытое множество, т. е. если взять всё остальное базовое множество без X, оно будет открытым. Например, пусть базовое множество - плоскость. Тогда круг (не включая границу круга) будет открытым множеством. А вот круг вместе с границей - не открытое множество. И более того, он будет замкнутым множеством, т. к. вся остальная плоскость без этого круга - открытое множество.

Определения предельной, изолированной, внутренней точки. Пусть M - произвольное множество метрического пространства (X,ρ). Точка x₀X называется внутренней точкой множества M, если существует окрестность этой точки, целиком входящая в множество M. Совокупность всех внутренних точек множества M называется внутренностью множества M и обозначается int M. Множество, состоящее только из внутренних точек, называется открытым.

Пусть M - произвольное множество метрического пространства (X,ρ). Точка x₀X называется предельной точкой множества M, если в любой окрестности точки содержится хоть одна точка из множества M, отличная от точки x₀. (Комментарий. Ясно, что предельная точка множества M может как принадлежать, так и не принадлежать множеству M. У открытого множества существует хоть одна предельная точка, не принадлежащая ему.)

Точка x₀X называется изолированной точкой множества M, если существует окрестность точки x₀, не содержащая точек из множества M.

6. Последовательности. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Определение предела функции в точке на языке последовательностей.

Определение предела функции в точке на языке последовательностей.

 Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→a, если для всякой последовательности {x_n} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(x_n)} имеют один и тот же предел А. Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Последовательности. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры.

 Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае

Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел

   (1)

следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого  задается как функция целочисленного аргумента,  т.е.  .

Число А называется пределом последовательности (1), если для любого существует число  , такое, что при  выполняется неравенство . Если число А есть предел последовательности (1), то пишут

Числовая последовательность не может иметь более одного предела. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность расходящаяся. Числовая последовательность {xn} называется расходящейся, если она не имеет конечного предела, т.е. если она либо имеет бесконечный предел, либо у нее вообще нет предела. В частности всякая неограниченная числовая последовательность расходится. Если числовая последовательность содержит две или более двух подпоследовательностей, сходящихся к различным пределам, она расходится. Функциональная последовательность (т.е. последовательность функций) {fn(x)} называется расходящейся при данном значении х0 аргумента, если числовая последовательность {fn(x0)} расходится.

Для сходящихся последовательностей имеют место теоремы:

 если  .

Пример 1. 

 Найти общий член последовательности 1, 4, 9, 16, 25, …

Решение : нетрудно видеть, что

 и т.д.

Следовательно