- •1. Множества и действия над ними. Примеры. Натуральные, рациональные, вещественные числа.
- •2. Понятие функции. Область определения, область значения функции. Обратная функция, сложная функция. График функции.
- •3. Основные элементарные функции и их графики.
- •4. Понятие предела функции на бесконечности на языке ε-δ. Примеры.
- •5. Определения предельной, изолированной, внутренней точки. Открытое и замкнутое множество. Понятие предела функции в точке на языке ε-δ.
- •6. Последовательности. Предел последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Примеры. Определение предела функции в точке на языке последовательностей.
- •7. Односторонние пределы. Теорема о единственности предела. Теорема об односторонних пределах.
- •8. Замечательные пределы. Вывод первого замечательного предела.
- •9. Замечательные пределы. Вывод 3-5 Замечательных пределов.
- •15. Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл.
- •16. Производная функция. Свойства производных(5 свойств).
- •17. Вычисление табличных производных: X ², sin X. Производная обратной функции.
- •18. Дифференцируемая функция. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.
- •19. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Пример. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Дифференциалы старших порядков.
- •20. Функции, заданные параметрически. Пример. Первая и вторая производная функции, заданной параметрически.
- •21. Функции, заданные неявно. Пример. Производная неявной функции. Производные старших порядков.
- •22. Возрастание и убывание в точке. Условия возрастания и убывания функции.
- •23. Экстремум функции. Теорема Ферма. Геометрический смысл.
- •24. Теорема Ролля. Геометрический смысл.
- •25. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Геометрический смысл.
- •26. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
1. Множества и действия над ними. Примеры. Натуральные, рациональные, вещественные числа.
Множества и действия над ними.
Множество, в котором не содержится ни одного элемента, называется пустым. Обозначается оно знаком Ø.
Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют совпадающими. Например, совпадают два конечных множества, которые отличаются друг от друга порядком их элементов.
Определение 1. Пересечением множеств А и В называют их общую часть С. Другими словами, пересечение множеств А и В образуют элементы, принадлежащие равно как А, так и В (обозначается пересечение - n)
Определение 2. Объединением множеств А и В, называют множество С, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств
Определение 3. Разностью множеств А и В называют множество С = В / А,
Натуральные, рациональные, вещественные числа.
Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое несократимой обыкновенной дробью , где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число. Такую дробь следует понимать как результат деления m на n, даже если нацело разделить не удаётся.
Вещественные числа (их еще называют числами с плавающей точкой) в отличие от целых чисел имеют дробную часть. Дело в том, что целое число не во всех случаях подходит для измерений. Например, с помощью целых чисел не всегда можно точно измерить температуру или денежную стоимость. Для вычислений с повышенной точностью применяются вещественные числа. Необходимо напомнить, что дробная часть отделяется от целой части точкойи ни в коем случае запятой.
примеры вещественных чисел:
123.9
1.116
2. Понятие функции. Область определения, область значения функции. Обратная функция, сложная функция. График функции.
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменная х- независимая переменная или аргумент. Переменная у- зависимая переменная Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х. Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная. Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x) Возрастающая функция- если для любых х1и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2) Убывающая функция- если для любых х1и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)
Теорема. Строго монотонная функция обратима.
Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.