СЕ-инфо_42 / ИП-2013 / Лаб - 1 - ИП-2013
.docЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
-
Определение точечных оценок для матожидания и дисперсии выборки.
-
Проверка выборки на обнаружение грубых погрешностей. При обнаружении промахов, они отбрасываются из выборки, после чего все вычисления, начиная с п.1, повторяются.
-
Проверка выборки на нормальность.
-
Рассчитать доверительный интервал для матожидания из выборочных данных при двух заданных доверительных вероятностях Р = 0.9 и Р = 0.95.
1. Точечная оценка матожидния и дисперсии по опытной выборке
(1)
(2)
(3)
2. Обнаружение грубых погрешностей и их устранение.
Обнаружение грубых погрешностей решается методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в том, что результат измерения Xk не содержит грубой погрешности. Сомнительным может быть только наибольший Xmax или наименьший Xmin из результатов. Для проверки гипотезы составим величины
;
;
Проверка промахов проводится по критерию Романовского:
V ≥ 3
2. Проверка нормальности распределения. Мы будем применять наиболее простой способ проверки [2].
-
По результатам эксплуатационных измерений (выборки) вычислим третий 3 и четвертый 4 статистический моменты опытного распределения вероятности:
.
(4)
.
(5)
и коэффициенты ассиметрии g1 и эксцесса g2 опытного распределения
,
. (6)
-
Определяем средние квадратичные отклонения коэффициентов ассиметрии и эксцесса:
;
.
(7)
-
Проводим сравнение полученных величин.
Если выполняются одновременно неравенства:
| g1 | 1.5 S1 ; | g2 + 6 / (N + 1)| 1.5 S2 (8)
то опытные данные подчиняются нормальному распределению.
Если же выполняется хотя бы одно из неравенств:
| g1 | 3 S1 ; | g2 + 6 / (N + 1)| 2 S2 (9)
то опытные данные не подчиняются нормальному распределению.
В любом другом случае нельзя дать определенного ответа без дополнительного исследования.
|
|
Приложение 1
Обнаружение грубых погрешностей.
Таблица значений при различных числах измерений N.
|
N |
q = 1 - |
|||
|
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
|
|
3 |
1.406 |
1.412 |
1.414 |
1.414 |
|
4 |
1.645 |
1.689 |
1.710 |
1.723 |
|
5 |
1.731 |
1.869 |
1.917 |
1.955 |
|
6 |
1.894 |
1.996 |
2.067 |
2.130 |
|
7 |
1.974 |
2.093 |
2.182 |
2.265 |
|
8 |
2.041 |
2.172 |
2.273 |
2.374 |
|
9 |
2.097 |
2.237 |
2.349 |
2.464 |
|
10 |
2.146 |
2.294 |
2.414 |
2.540 |
|
11 |
2.190 |
2.383 |
2.470 |
2.606 |
|
12 |
2.229 |
2.387 |
2.519 |
2.663 |
|
13 |
2.264 |
2.426 |
2.562 |
2.714 |
|
14 |
2.297 |
2.461 |
2.602 |
2.759 |
|
15 |
2.326 |
2.493 |
2.638 |
2.808 |
|
16 |
2.354 |
2.523 |
2.670 |
2.837 |
|
17 |
2.380 |
2.551 |
2.701 |
2.871 |
|
18 |
2.404 |
2.557 |
2.728 |
2.903 |
|
19 |
2.426 |
2.600 |
2.754 |
2.932 |
|
20 |
2.447 |
2.623 |
2.778 |
2.959 |
|
21 |
2.467 |
2.644 |
2.801 |
2.984 |
|
22 |
2.486 |
2.664 |
2.823 |
3.008 |
|
23 |
2.504 |
2.683 |
2.843 |
3.030 |
|
24 |
2.520 |
2.701 |
2.862 |
3.051 |
|
25 |
2.537 |
2.717 |
2.880 |
3.071 |
|
|
|
|
|
|
-
Расчет доверительных границ.
Напоминание (Интервальная оценка математического ожидания при
неизвестной
дисперсии измерения вычисляется
следующим образом. При нормальном
распределении генеральной совокупности
величина
имеет распределение Стьюдента с (N-1)
степенями свободы. Таким образом,
интервальная оценка математического
ожидания запишется в виде:
.
Здесь
величина
- это уровень значимости, который связан
с заданной доверительной вероятностью
р
следующим образом
.
Значения
квантилей распределения Стьюдента
приведены в Приложении.
Результаты измерений записываются в виде:
X
=
;
P
= . . . . .
Приложение
Интервальная оценка математического ожидания результата измерения при неизвестной дисперсии.
Квантили
распределения Стьюдента
|
Ν |
Уровни значимости, α |
||||||||
|
0,80 |
0,40 |
0,20 |
0,10 |
0,050 |
0,02 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
|
|
1 |
0,325 |
1,38 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
127,32 |
636,58 |
|
2 |
0,289 |
1,06 |
1,89 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
14,09 |
31,60 |
|
3 |
0,277 |
0,98 |
1,64 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
7,45 |
12,92 |
|
4 |
0,271 |
0,94 |
1,53 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
5,60 |
8,61 |
|
5 |
0,267 |
0,92 |
1,48 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
4,77 |
6,87 |
|
6 |
0,265 |
0,91 |
1,44 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
4,32 |
5,96 |
|
7 |
0,263 |
0,90 |
1,41 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
4,03 |
5,41 |
|
8 |
0,262 |
0,89 |
1,40 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
3,83 |
5,04 |
|
9 |
0,261 |
0,88 |
1,38 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
3,69 |
4,78 |
|
10 |
0,260 |
0,88 |
1,37 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
3,58 |
4,59 |
|
12 |
0,259 |
0,87 |
1,36 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
3,43 |
4,32 |
|
14 |
0,258 |
0,87 |
1,35 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
3,33 |
4,14 |
|
16 |
0,258 |
0,86 |
1,34 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
3,25 |
4,01 |
|
18 |
0,257 |
0,86 |
1,33 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,20 |
3,92 |
|
20 |
0,257 |
0,86 |
1,33 |
1,72 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,15 |
3,85 |
|
25 |
0,256 |
0,86 |
1,32 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,08 |
3,73 |
|
30 |
0,256 |
0,85 |
1,31 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
3,03 |
3,65 |
|
40 |
0,255 |
0,85 |
1,30 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
2,97 |
3,55 |
|
60 |
0,254 |
0,85 |
1,30 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
2,91 |
3,46 |
|
120 |
0,254 |
0,84 |
1,29 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
2,86 |
3,37 |
Данные см. в файле (ниже).
|
Xi |
Xi |
Xi |
|
789 |
9,2 |
20,42 |
|
791 |
7,6 |
20,43 |
|
792 |
6,5 |
20,4 |
|
794 |
8,5 |
20,43 |
|
796 |
7 |
20,42 |
|
795 |
5,5 |
20,43 |
|
797 |
7,3 |
20,39 |
|
798 |
8 |
20,3 |
|
800 |
7,2 |
20,4 |
|
801 |
7,7 |
20,43 |
|
803 |
6,4 |
20,42 |
|
804 |
8,3 |
19,41 |
|
806 |
6,6 |
20,39 |
|
769 |
3,0 |
20,39 |
|
809 |
7,6 |
20,4 |
|
|
8,6 |
|
|
|
5,6 |
|
|
|
7,1 |
|
|
|
7,3 |
|
|
|
8,2 |
|