Точечная оценка измеряемого значения (1)
Точечной статистической оценки математического ожидания измеряемого параметра Х служит среднее
значение:
1 N
X N i 1 xi
Эта оценка: состоятельная, (при увеличении числа измерений она приближается к точному значению Х ),
•несмещенная, (математическое ожидание оценки (среднего) равно оцениваемому параметру Х ),
•эффективная, (ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра)
21
22
Точечная оценка измеряемого значения (2)
Точечной оценкой среднеквадратического отклонен- ия (СКО) многократного измерения являются
S* |
1 (X k X )2 |
S |
1 |
|
(X k X )2 |
||||
|
|
|
N |
_ |
|
|
|
N |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
N k 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(N 1) |
|
|||
Эти оценки: состоятельные, (при увеличении числа измерений они приближаются к точному значению СКО (дисперсии)),
•смещенная (S*), несмещенная (S),
•эффективные, (дисперсия S, S* меньше дисперсии любой другой оценки СКО (дисперсии)).
Оценкой СКО среднего значения Х от истинного матожидания
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеризуется дисперсией |
|
|
N |
xi |
|
|
2 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
SX |
|
|
|
|
|
|
S / N |
||
|
N (N 1) |
|||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||
Среднее значение быстро стремится к матожиданию |
23 |
|
Интервальная оценка результатов измерений
В процессе получения интервальных оценок измерения последовательно решаются четыре задачи:
•Точечная оценка параметров выборки
•Обнаружение грубых погрешностей (промахов)
•Проверка соответствия результатов измерения нор- мальному закону распределения (или его принятие)
•При заданной доверительной вероятности (Р) вычис- ление доверительного интервала для матожидания рез-
ультата измерения (и если это надо - вычисление доверитель-
ных интервалов для СКО результата измерения - если это надо). 24
Нормальный закон распределения вероятности в
измерениях
• Измеряемый параметр X имеет нормальное распреде- ление cо средним (математическим ожиданием) Х и дис-
персией σ: |
f (x) |
|
1 |
|
exp[ (x |
|
)2 /(2 2 )] |
|
|
|
X |
||||||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
В практике, вместо следует применять оценку S. Интегральная функция распределения Лапласа
F(x) = P( X < x) = |
|
1 |
|
x |
||
|
|
exp[ (x |
X )2 |
/ 2 2 ]dx |
||
|
|
|
||||
|
||||||
|
|
2 |
||||
показывает вероятность того, что случайная величина не превосходит значения х .
25
Интервальная оценка результатов измерений(этапы)
•Проверка нормального закона распределения вероятности в измерениях
•Обнаружение грубых погрешностей и их устранение
Простой критерий Романовского выявления промахов
|Xi - X | > 3 S
•Интервальная оценка математического ожидания измеряемой величины
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi X |
|
|
|
|||||
X S X t1 2 |
X X S X t1 2 |
|
|
|
|
||||||||||
SX |
|
|
|
S / |
|
||||||||||
|
|
N |
|||||||||||||
N (N 1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|||||
26
Здесь величина - это уровень значимости, который связан с заданной
доверительной вероятностью р следующим образом |
1 p |
Значения квантилей распределения Стьюдента |
t1 2 |
приведены в статистических таблицах, или в пакетах компьютера (Excel). При больших выборках (более 25-30) распределение Стьюдента и его квантили переходят в нормальное распределение и его квантили.
_
X = X ; P = . . . .
Здесь = SX t1- /2 .
Следует отметить, что при увеличении выборки (N) граница интервала õ ведет себя как S*/√N , то есть уменьшается с ростом N как √N, стремясь к нулю, как показано на рис. ниже
27
28
Результаты измерений записываются в виде:
_
X = X ; P = . . . .
Здесь = SX t1- /2 .
Следует отметить, что при увеличении выборки (N) граница интервала õ ведет себя как S*/√N , то есть уменьшается с ростом N как √N, стремясь к нулю.
29
30
31