for students / дучп_лр

Кафедра космических летательных аппаратов

«Моделирование»

«Анализ распределения скоростей течения вязкой жидкости в канале сложной формы»

Цель работы: Получение навыка решения на ЭВМ дифференциальных уравнений в частных производных разностным итерационным методом и методом Монте-Карло на примере задачи определения скоростей течения вязкой жидкости в канале сложной формы.

Содержание работы

Необходимо определить распределение скоростей течения вязкой жидкости по поперечному сечению канала сложной формы.

1. Определение основных этапов решения на ЭВМ дифференциальных уравнений в частных производных.

2. Ознакомление с методами.

3. Составление расчетной схемы программы расчета, подготовка исходных данных.

4. Проведение расчётов.

5. Построение полученных зависимостей.

Введение

Установившееся течение жидкости в канале сложной формы описывается уравнением Пуассона:

с граничными условиями W_Г=0,

где W— скорость течения жидкости;

х,у - координаты точки;

g(x,y) - функция, учитывающая параметры вязкой жидкости.

Уравнение Пуассона (1) описывает также явления другой физической природы, например, стационарную теплопередачу в пластине с внутренними источниками тепловыделения.

Существуют несколько методов решения уравнения Пуассона.

1. Метод конечных элементов.

2. Метод конечных разностей.

3. Метод Монте-Карло,

В данной лабораторной работе необходимо получить решение вторым и третьим методами.

В основе решения уравнения Пуассона методом конечных разностей лежит конечно-разностная аппроксимация производных. Решение включает три этапа:

1. Построение в области решения сетки, содержащей N узловых точек. Как правило, используются регулярные сетки с постоянным шагом, позволяющие наиболее точно описать границы сложной формы.

2. Получение разностного выражения дифференциального уравнения, описывающего функциональные связи между соседними узлами.

Р азностный аналог уравнения Пуассона для точки x=Δx*i и у=Δу*j:

Где к - номер итерации;

Δх - расстояние между узлами сетки по оси х;

Δу - расстояние между узлами сетки по оси у.

приводит к системе линейных алгебраических уравнений, отличающихся разреженной матрицей коэффициентов при неизвестных. Разностное уравнение записывают для всех узлов сетки и получают в результате систему N уравнений с N неизвестными.

3 . Решение полученной системы N уравнений. Поскольку система линейных алгебраических уравнений отличается разреженной матрицей коэффициентов при неизвестных, для ее решения часто используют итерационный метод, сущность которого заключается в постепенном приближении к решению за счет многократного повторения одного и того же простого алгоритма. Точность решения определяется заранее. Итерации начинаются с задания начального приближенного решения. Затем начальные значения переменных в узлах сетки последовательно изменяются, пока не достигается заданная точность решения. Быстрота сходимости зависит от степени сложности начальной аппроксимации и используемого алгоритма. Наибольшей скоростью сходимости обладает метод последовательной верхней релаксации, в котором проводится линейная экстраполяция по результатам двух последовательных смещений.

Если текущее значение переменной в узле W^k_i,j, а метод последовательных смещений дает Ŵ^k_i,j, то в действительности будет использовано значение:

где ω - параметр релаксации (1≤ω≤2).

Скорость сходимости определяется величиной ω. При ω =1 получается метод последовательных смещений, а при ω =1.2 скорость сходимости может возрасти в 2 раза по сравнению с методом последовательных смещений.

У словия прекращения итераций:

где ε - требуемая точность вычислений.

Другим методом решения эллиптических уравнений является метод Монте-Карло, который позволяет найти значения W лишь в одном узле сетки. Для этого необходимо организовать «блуждания» из узла, где ищется решение. Расчетная область разбивается сеткой с одинаковым шагом по всем осям: h=Δх=Δу.

Затем многократно повторяется простой алгоритм:

1 . Точку помещают в тот узел, где необходимо найти решение, положив начальное значение счетчика равным

2. С равными вероятностями точку перемещаем в один из соседних узлов, прибавив к счетчику соответствующее значение

Для выбора направления перемещения используют датчик случайных чисел;

3. Если новая точка не попала на границу, то снова выполняют пункт 2;

4. Если новая точка попала на границу, то к счетчику прибавляется значение функции на границе W_Г и траекторию обрывают.

Для уравнения Пуассона W_Г =0, и если шаг сетки h выбрать таким, чтобы

з начение функции в исходном узле (х=x₀; у=y₀) W будет равно математическому ожиданию числа шагов до границы.

Порядок подготовки программы

Необходимо составить программу решения уравнения Пуассона, описывающего течение вязкой жидкости в канале сложной формы разностным итерационным методом и методом Монте-Карло.

Содержание отчета

Отчёт должен содержать:

• краткие пояснения по применяемым методам решения задачи,

• текст программы, составленной студентом,

• результаты расчётов,

• рисунок поперечного сечения канала с нанесёнными изолиниями скорости течения.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Общие условия: g(х,у)=10⁴; Требуемая точность 10^-6 Методом конечных разностей Необходимо определить значение скоростей течение во всех узлах сетки ( расчётная область разбивается сеткой, содержатся не менее 10 точек по каждой координате), а методам Монте-Карло лишь в одном узле по выбору по выбору. Размеры в метрах.