Макаров Е.Г. Курсовая работа по методу конечных элементов
.pdf
21
Рис. К.21. Начало расчета моментов инерции сечения сложной формы
Для создания сетки конечных элементов используется прямоугольный планшет. На рис. К.22 показаны узлы планшета и узлы сложного сечения. Число рядов и столбцов планшета вводится расчетчиком глобально (в конце расчета около рис. К.25). Подпрограммы, помещенные в скрытую зону, определяют узлы планшета, которые находятся за пределами контура сложного сечения.
Рис. К.22. Узлы планшета и сложного сечения
Далее составляется матрица индексов, из которой вычёркиваются строки, содержащие номера узлов, находящихся за пределами сложного сечения. После этого определяются граничные условия, то есть составляется список узлов на контуре сечения, в которых функция напряжений Ф = 0.
Решение уравнения Пуассона и расчет касательных напряжений при кручении стержня сложного сечения в основной программе МКЭ-Пуассон — это основное, что должен усвоить студент. Находящиеся там выражения полностью соответствуют разделу 23.7.3 – 5 из теоретического курса (Макаров Е.Г. «Сопротивление материалов с использованием вычислительных комплексов», книга 1). Они показаны на рис. К.23 и К.24.
22
Рис. К.23. Решение уравнения Пуассона (начало)
Рис. К.24. Решение уравнения Пуассона (окончание)
Целью расчета является определение момента инерции и момента сопротивления стержня при кручении, а также распределение касательных напряжений в сечении стержня. Результаты расчета и операторы передачи их в программу МКЭ-доп- расчеты показан на рис. К.25.
23
Рис. К.25. Передача результатов расчета в программу МКЭ-доп-расчеты
Расчет произведен для относительного угла закручивания стержня θ = 1град
м . При
реальном нагружении стержня угол закручивания может быть любым. При упругом нагружении справедлив закон Гука и касательные напряжения, как и крутящий момент пропорциональны углу закручивания. А вот соотношение напряжений γ = τ
τmax в различных узлах сечения не зависит от величины крутящего момента.
Как и следовало ожидать, максимальное напряжение τmax действует во внутреннем угле сечения, где концентрация напряжений максимальная.
На этом работа программы МКЭ-Пуассон закончена, но не закончена работа расчетчика.
Программа решения уравнения Пуассона универсальная и может использоваться для решения других задач. Например, задач термодинамики, электромагнетизма. Алгоритм решения задачи во всех случаях одинаков. Заменить надо лишь матрицу внутренней жесткости и вектор правых частей основного уравнения. Их физический смысл будет совсем другим.
В программе МКЭ-Пуассон откройте зону, где скрыто решения уравнения Пуассона. Измените условие задачи (рис.К.26). Введите другие граничные условия. То, что показано на этом рисунке, эквивалентно распределению температур в пластине, имеющей форму нашего сложного сечения, под действием источника тепла в заданной точке (паяльник или сварка). Поменяйте точку приложения источника тепла.
Рис. К.26. Решение уравнения Пуассона для точечного источника тепла
24 |
2.4. Расчет стержневой системы со стержнем сложного сечения |
||
Вернемся к расчету стержневой системы. В начале работы в стержневой системе еще |
|||
|
|||
|
нет стержня со сложным сечением. Идет отладка программы. Сечения всех |
||
|
элементов будут соответствовать матрице BD ввода размеров сечений (рис. К.11), то |
||
|
есть круглые или прямоугольные. |
||
|
Один из стержней заменим стержнем сложного поперечного сечения. Это может |
||
|
быть любой стержень или даже стержень, разбитый на несколько элементов. В |
||
|
программе МКЭ-доп-расчеты на пульте управления (рис. К.11) в матрице К введите |
||
|
Кn,3 = 3 — для элемента n, форма сечения 3 (сложное сечение). При этом размеры |
||
|
сечения, введенные в матрицу BD, перестают действовать. |
||
|
Перейдите в программу МКЭ-простран, нажав сочетание клавиш CTRL+F6. |
||
|
Посмотрите на таблицы геометрических характеристик сечений. Для элемента с |
||
|
кодом Кn,3 |
= 3 моменты инерции сечения (в нашем примере прямоугольного), после |
|
|
пересчета заменяются на моменты инерции сложного сечения. |
||
|
Теперь нажмите CTRL+F9 для пересчета основной программы. Снова вернитесь в |
||
|
программу МКЭ-доп-расчеты и пересчитайте ее тоже. В конце этой программы в |
||
|
скрытой зоне производится расчет эквивалентных напряжений во всех узлах |
||
|
сложного |
сечения и выбирается максимальное эквивалентное напряжение |
|
(рис. К.13). Результат пересчета отражается на пульте управления в строке n.
Если из конструктивных соображений надо развернуть поперечное сечение на 90°, введите KR = 1.
Рис. К.27. Пересчет напряжений в стержне сложного сечения с изменением его размеров
Программа МКЭ-доп-расчеты предусматривает и возможность изменения размеров сложного сечения. В нее введен масштабный коэффициент а. Если максимальное эквивалентное напряжение в этом элементе мало или велико, измените коэффициент а, сделав его больше или меньше единицы. Пропорционально а изменятся размеры сложного сечения. Последовательно пересчитав все три программы, нажимая в них CTRL+F9, найдете максимальные напряжения в стержне с измененными размерами
(рис. К.27).
СОВЕТ
Переходя от одной программы к другой (CTRL+F6), введя какие-то изменения в исходные данные, не забывайте нажать CTRL+F9 для пересчета программы.
Для контроля за правильностью расчетов, точнее говоря, за соответствием расчетов здравому смыслу, в конце программы МКЭ-доп-расчеты выведены таблицы узловых значений нагрузок (введенных) и перемещений (расчетных) (рис.К.27).
Компьютерный расчет закончен. Но еще остается часть ручной работы расчетчика.
25 |
2.5. Построение эпюр внутренних усилий с учетом |
|
распределенной нагрузки |
||
|
||
|
Для выбора опасного сечения в сопротивлении материалов строят эпюры внутренних |
|
|
усилий. Может ли Mathcad построить эти эпюры? Конечно, может. По условиям |
|
|
метода конечных элементов все нагрузки прикладываются в узлах системы и |
|
|
соответственно внутренние усилия определяются тоже в узлах. Таким образом, в |
|
|
результате расчета методом конечных элементов известны внутренние усилия на |
|
|
границах элементов-стержней. Если нет распределенной нагрузки, все графики |
|
|
внутренних усилий представляют собой прямые линии. Значения усилий на границах |
|
|
Mathcad соединяет прямой линией. Эпюры готовы? Не совсем. |
Рис. К.28. Построение эпюр внутренних усилий в Mathcad
В матричном методе, если знаки внутренних усилий на концах элемента одинаковы, то и направления усилий одинаковы. В сопротивлении материалов, если знаки внутренних усилий на концах элемента одинаковы, то направления усилий противоположны.
Для построения эпюр внутренних усилий в программе МКЭ-доп-расчеты знак внутренних усилий в начале элемента пришлось изменить на противоположный (рис. К.29). На этом рисунке показаны только три момента ( Mk, My , Mz ). Три силы
( Nx ,Qy ,Qz ) не показаны, чтобы не загромождать рисунок, к тому же они не используются в расчетах.
Рис. К.29. Изменение знака усилия в начале элемента
Если на элемент действует распределенная нагрузка, то построение эпюр внутренних усилий становится значительно более сложным. Чтобы понять процесс учета распределенной нагрузки, предлагается построить эпюры вручную.
В качестве примера рассмотрим построение эпюр внутренних усилий в элементе 1, для одной из процедур пересчета.
Вначале изобразим элемент с 12-ю степенями свободы и по каждому направлению впишем величину внутреннего усилия (рис. К.30, слева). Для отрицательных величин меняем направление стрелки. В итоге имеем стержень, нагруженный 12-ю нагрузками, для которого надо построить эпюры внутренних усилий.
Эпюры Nx , Qy , Qz , Mk имеют вид прямоугольников. Эпюры изгибающих моментов
26 |
My , Mz строим по двум точкам, отложив значения моментов на границах участков и |
|
соединив их прямой линией. Эпюры внутренних усилий без учета распределенной нагрузки построены.
Рис. К.30. Построение эпюр внутренних усилий с учетом распределенной нагрузки
Для учета распределенной нагрузки надо из внутренних усилий вычесть приложенные перед началом расчета эквивалентные нагрузки и вернуть на элемент распределенную нагрузку. Построение эпюр Qy и Mz с учетом распределенной
нагрузки показано на рис. К.29, справа. Запишем уравнения поперечной силы и изгибающего момента:
Q |
|
(x) = 75,1 − q x |
M |
|
(x) = −9, 9 + 75,1x − q |
|
x2 |
. |
|
|
|
2 |
|||||
|
y |
y |
|
z |
|
y |
|
Приравняв нулю поперечную силу, находим координату сечения, где действует максимальный изгибающий момент.
x0 = 0, 375 м max Mz (x0 ) = 4, 2 нм.
По уравнениям Qy (x) и Mz (x) строим две эпюры (рис. К.30, справа). Остальные эпюры внутренних усилий остаются без изменений.
Опасное сечение в нашем примере на левом конце стержня. Однако чаще всего максимальный изгибаюший момент действует в сечении, где этот момент имеет экстремум. Мathcad может сам посчитать напряжения и в этом сечении, но… всетаки эта работа имеет отношение к курсу сопротивления материалов, поэтому студент-расчетчик должен самостоятельно (вручную) сосчитать эквивалентные напряжения в этом сечении, в некоторой, заданной преподавателем точке.
Это единственная возможность заставить студента раскрыть закрытые зоны программы, поискать там нужные расчетные данные и формулы (в подпрограммах расчета напряжений). Вспомнить условие прочности при сложном напряженном состоянии.
2.6.Расчет коэффициентов жесткости вручную
Стой же целью — поработать с программой студент должен самостоятельно
рассчитать один из коэффициентов жесткости одного из элементов стержневой системы,
рассчитать один из коэффициентов жесткости одного из элементов сложного сечения.
27Номер элемента и коэффициент жесткости задается преподавателем. Формулы для расчета взять из книги Макаров Е.Г. «Сопротивление материалов с использованием вычислительных комплексов», книга 1 (теоретический курс).
2.7. Вид системы после деформации
Это заключительная часть работы. Нарисуйте (или распечатайте) схему стержневой системы (рис. К.1). Отметьте на рисунке положение характерных узлов системы после деформации. В программе МКЭ-доп-расчеты в самом конце ее выведены узловые внешние нагрузки и узловые перемещения . Найдите среди них перемещения узлов вдоль осей X, Y, Z. Отметьте на рисунке, куда переместился узел. Разумеется, приближенно, отразив лишь тенденцию перемещения.
Рис. К.31. Вид системы после деформации
Соедините кривыми линиями новые положения основных узлов с точками закрепления (рис. К.31). Если схема сделана на компьютере, то достаточно лишь добавить несколько линий и рисунок готов.
2.8. Вывод результатов расчета
Результаты расчета вывести в виде сводной таблицы (таблица К1)
Таблица К1.
Номер |
Размеры сечения (мм) |
Материал |
[σ] |
max σэквIV |
maxU |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
элемента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
h |
δ |
D |
|
d |
|
МПа |
МПа |
мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Сложное сечение а = 1 |
Латунь |
50 |
43 |
1,8 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
15 |
|
0 |
Сталь |
100 |
82 |
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
15 |
|
0 |
Сталь |
100 |
84 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
20 |
20 |
|
|
|
|
алюминий |
50 |
38 |
1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
20 |
20 |
|
|
|
|
Алюминий |
50 |
11 |
4,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
12 |
|
8 |
текстолит |
40 |
1 |
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Уголок 30 х 30 х 3 |
|
Сталь |
100 |
51 |
0,8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Размеры сложного сечения после расчета (масштабный коэффициент а = 0,6) R = 12 мм, а1 = 7,2 мм, а2 = 4,8 мм, а3 = 3,6 мм.
Масса конструкции 3,62 кг.
Собственные частоты колебаний конструкции в герц;
28 |
Сосредоточенной массы нет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
|
ω2 |
|
ω3 |
|
ω4 |
|
ω5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
69 |
|
112 |
|
127 |
139 |
|
|||||
|
Сосредоточенная масса m0 = 10 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
|
ω2 |
|
ω3 |
|
ω4 |
|
ω5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ПРИМЕЧАНИЕ |
|
28 |
|
52 |
|
|
68 |
|
|
82 |
|
137 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее уместно записать любые (разумные) фантазии по поводу использования конструкции, например:
ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ
Рассчитываемая конструкция предназначена для размещения на ней технологического оборудования и является частью большой конструкции, нагрузки от которой передаются на расчетный узел. Оборудование размещается на верхней горизонтальной поверхности
Элемент 1 может находиться под электрическим напряжением, поэтому выполнен из латуни. Рекомендуется уменьшить нагрузку на этот стержень.
Элементы 2 и 3 представляют собой единую ось, по которой скользит втулка. Это единая деталь, выполненная в виде стального круглого стержня.
Элементы 4 и 5 также единая деталь. Нагрузка на них недопустимо велика, поэтому не удалось удовлетворить условию жесткости δ<2 мм . Необходимо ввести в
конструкцию дополнительный стержень-подпорку.
Элементы 6 и 7 — малонагруженные конструктивные опоры, Элемент 6 выполнен в виде алюминиевой трубки, элемент 7 — равнобокий уголок. Размеры их взяты из технологических соображений.
3. Типичные ошибки при выполнении курсовой работы
В программе «Простран» нет решения системы уравнений. —
Число нагрузок не равно числу перемещений. — В программе «МКЭ-доп- расчеты» проверить ввод вектора сил. Надо удалить лишние нагрузки, оставшиеся от тестового примера.
В программе «МКЭ-доп-расчеты» не строится вид сложного сечения. — При вводе координат контура сечения компоненты векторов Z1 и Z2 должны располагаться в возрастающем порядке. — В случае совпадения координаты Z в двух точках сделайте малый сдвиг на 0,001 мм.
При считывании данных из файла Mathcad не может найти файл. —
Mathcad-программы и файлы, созданные ею должны находится в одной директории. Возможен также "глюк" Mathcad (замена знака присвоения с глобального на локальное или наоборот). — В начале расчета Mathcad считывает глобально введенные значения, а затем локально введенные. То есть он не может прочитать то, что еще не введено. Сверьте знаки присвоения в вашей программе с исходной программой.
В программе «Простран» не решается основное уравнение МКЭ. Проверьте ввод исходных данных. Если всё введено верно, немного измените размеры одного из сечений. Чаще всего решение вновь станет верным. Это, увы, типичный «глюк» Mathcad.
В программе «Простран» в динамическом расчете первая собственная частота — комплексное число. — Еще один «глюк» Matthcad. — Немного изменить размеры одного из сечений. Чаще всего решение вновь станет верным. Если не помогло, то надо перенумеровать собственные частоты, считая вторую частоту первой. Для этого надо включить выражение, на которое указывает примечание в программе «Простран» рядом с выводом собственных частот.
29 |
|
В программе «Простран» при расчете вынужденных колебаний |
|
коэффициент динамичности меньше единицы. — Амплитуда вынуждающей |
|
|
|
силы мала по сравнению с другими, постоянно приложенными нагрузками, |
|
|
поэтому ее влияние мало. К внешним нагрузкам надо добавлять сопоставимую с |
|
|
ними вынуждающую силу. Возможно также, что для выбранного перемещения |
|
|
nm на первой собственной частоте нет резонанса. — Поменяйте номер |
|
|
перемещения nm и номер собственной частоты Ω. |
|
|
В программе «МКЭ-Пуассон» не идет расчет. — Чаще всего это «глюк» |
|
|
Matthcad. — Немного измените размеры одного из сечений. Чаще всего решение |
вновь станет верным. Другая возможная причина ошибки — сбой в алгоритме Mathcad. Раскройте скрытую зону с решением уравнения Пуассона. Щелкните мышью на выражении А (вычисление площадей элементов). Если ошибка в этом операторе, то в контекстном меню (при щелчке правой кнопкой мыши) поставьте флажок у пункта Square Matrix Determinant (вычисление определителя матрицы). Эта ошибка возникает только при сохранении файла в формате старых версий (с расширением mcd), при сохранении файла с расширением xmcd) такой ошибки нет.
ПРИМЕЧАНИЕ
Почти все ошибки вызываются неверными исходными данными. Тщательно проверьте ввод всех исходных данных. А также проверьте включение-выключение необходимых операторов в соответствии с указаниями программы МКЭ-доп- расчеты.
При многократной перезаписи программ возможно появление «глюков» (ошибок) Mathcad. Иногда для исправления ошибки достаточно отпечатать заново оператор, в котором указана ошибка. Если описанные средства исправления ошибок не помогают, скопируйте введенные исходные данные в программы, взятые непосредственно с компакт-диска.
4.Содержание отчета о курсовой работе
1.Титульный лист.
2.Распечатка файла «порядок расчета.doc».
3.Исходные данные для расчета (схема стержневой системы и сложного сечения, числовые данные к расчету) (рис. К.2).
4.Распечатка программы МКЭ-Пуассон с результатами расчета на кручение.
5.Распечатка программы МКЭ-доп-расчеты с расчетом системы после подбора размеров сечений из условий прочности и жесткости.
6.Распечатка программы МКЭ-Простран.
ВНИМАНИЕ
Перед распечаткой в Mathcad-программах закройте все «закрытые» зоны, тогда в распечатках останутся только исходные данные, алгоритм решения (основные формулы) и результаты расчетов.
7.Лист с построением эпюр внутренних усилий для стержня с распределенной нагрузкой.
8.Лист с видом системы после деформации (по требованию преподавателя).
9.Лист с расчетами коэффициентов жесткости (по требованию преподавателя).
10.Таблица с результатами расчета системы.
11.Выводы: Примечания к расчету, рекомендации по использованию конструкции и возможности ее улучшения.
ВНИМАНИЕ
Во всех программах введите в колонтитулы свои фамилию, номер группы и вариант расчета. Для этого в стандартном меню Мathcad выберите View Header and Footer Footer. Впишите свои фамилию, группу и вариант.
305. Вопросы к защите курсовой работы
1.Начало возможных перемещений.
2.Основное уравнение метода сил и метода перемещений.
3.Основная идея метода конечных элементов.
4.Физический смысл коэффициента жесткости.
5.Физический смысл функции формы.
6.Разбиение на конечные элементы и нумерация узлов и перемещений.
для стержневых систем,
Для плоских тел.
7.Что такое матрица направляющих косинусов и зачем она нужна.
8.Матрица индексов и правило ее составления
для стержневых систем,
Для плоских тел.
9.Формирование вектора сил
для стержневых систем,
Для плоских тел.
10.Учет граничных условий (способ Пиано).
11.Порядок расчета методом конечных элементов
стержневой системы,
плоского тела.
12.Подбор размеров сечений стержней из условий прочности и жесткости.
13.Требования к функциям формы.
14.Функции формы треугольного элемента.
15.Линейные и квадратичные элементы в МКЭ.
16.Общий подход к решению задач МКЭ (метод взвешенных невязок).
17.Определение момента инерции при кручении стержня произвольного сечения.
18.Уравнение движения систем с одной степенью свободы и с большим числом степеней свободы
19.Матрицы масс, диссипации и жесткости. Их смысл.
20.Определение собственных частот стержневых систем.
21.Основная идея расчета системы на вынужденные колебания.