ГРАФЫ В MAPLE

>for i to n do

>for j from i to n do

>if A[i,j]=1 then

>k:=k+1: In[i,k]:=1: In[j,k]:=1:

>fi;

>od;

>od;

Для определения свойств матрицы графа используется операторeqWorld.ipmnet.ru IsMatrixShape пакета LinearAlgebra. В параметрах оператора

нет транзитивности, поэтому данное свойство описывается в специальной процедуре trnztv. Процедура работает точно по определению транзитивности (см. с. 32). Аналогично можно ввести проверку всех остальных свойств отношения.

В качестве примера рассмотрен граф с рис. 2.5 (см. с. 36). Первоначальная проверка показывает, что отношение, соответствующее графу, не транзитивно. После применения алгоритма Уоршолла получаем транзитивное замыкание. Для работы алгоритма требуется матрица, элементами которой являются логические константы true и false. Простая подстановка subs(1=true,0=false,A) легко с этим справляется. После получения искомой матрицы необходимо выполнить обратную замену: subs(true=1,false=0,A).

Программа 9

>restart: with(LinearAlgebra): n:=4:

>A:=Matrix([[1,0,0,1],[1,0,0,0],[0,0,0,0],

>‘IsMatrixShape/trnztv‘ := proc(A)

>local i,j,m,S:

>S:=true:

>for i to n do

>for j to n do

eqWorld.ipmnet.ru

>for m to n do

>if(A[i,m]*A[m,j]=1) then

>od;

>od;

>od:

>end:

>IsMatrixShape(A,trnztv); # Проверка транзитивности

>for m to n do # Алгоритм Уоршелла

>for i to n do

>for j to n do

>A[i,j]:=A[i,j] or (A[i,m] and A[m,j]);

>od;

>od;

>od;

>A:=subs(true=1,false=0,A);

>IsMatrixShape(A,trnztv); # Проверка транзитивности

eqWorld.ipmnet.ru

true

5.8. Компоненты сильной связности графа

Приведем три варианта решения задачи о нахождении компонент сильной связности графа. Рассмотрим орграф (рис. 5.1), содержащий, очевидно, три компоненты сильной связности: (1, 2), (3, 4), (5, 6). Дуги задаются списком, например [1, 2], а не множеством, как в неографе: {1, 2}. К сожалению, в Maple рисунки орграфа и неографа не отличаются

в которые путь приходит. Рассматривая матрицу M, замечаем, что из вершин 1 и 2 достижимы все вершины графа (строки 1 и 2 не содержат

Пересечением множеств {1, 2, 3, 4, 5, 6} и {1, 2} является множество {1, 2}. Это множество и является компонентой сильной связности графа. Операция пересечения множеств эквивалентна замене элементов матрицы достижимости произведением элементов и их симметричных образов. Это и выполнено в программе в двойном цикле по i и j. Начальные значения переменных цикла from и шаг by, по умолчанию равные 1, по обыкновению, не пишутся. В полученной матрице в последнюю строку дописываются номера вершин. Следует отметить характерную для Maple конструкцию определения и одновременного вызова функции, создающей последовательность номеров вершин: (j) -> j. Ориентация вектора номеров создается опцией row 1 . Далее, просматривая первую строку получившейся матрицы, заносим в первый список связности номера столбцов с ненулевыми элементами и вычеркиваем соответствующие строки и столбцы. Эта операция повторяется в цикле по j до исчерпания матрицы. Используются операторы

DeleteColumn и DeleteRow из пакета LinearAlgebra. Эти операторы не могут вычеркивать последние строку и столбец из матрицы, поэтому в программу введен условный оператор if nV1<>n.

1 Столбец задается опцией column.

eqWorld.ipmnet.ru

Программа 10

>restart: with(networks):with(LinearAlgebra):

>addedge([[1,2],[2,1],[3,4],[4,3],

>draw(Linear([5,3,1],[6,4,2]),G); # Рисунок

>M:=convert(evalm(add(A^k,k=1..m)),Matrix);

>for i to n do

>for j to n do

>M[i,j]:=M[i,j]*M[j,i];

>od:

>od:

>##################################################

eqWorld.ipmnet.ru

>NM:=Vector[row](n,(j) -> j):# Номера вершин

>M:= << M>,<NM>>; # Номера - в последнюю строку

>for j while nV1<>n do

>n:=Dimension(M)[2];

>V1:={}: # Номера исключаемых строк и столбцов

>for i to n do

>if M[1,i]<>0 then V1:=V1 union {i}:

>KMP[j]:=KMP[j] union {M[n+1,i]} end; eqWorld.ipmnet.ru

>od;

>V1:=convert(V1,list):

>nV1:=nops(V1):

>if nV1<>n then

>M:=DeleteRow(DeleteColumn(M,V1),V1);fi;

>od:

>ТаблицаКомпонент=op(KMP);

ТаблицаКомпонент = ([1 = {1, 2}, 2 = {3, 4}, 3 = {5, 6}])

Более простой вариант программы определения компонент сильной связности орграфа основан на функции components, применяемой для нахождения компонент связности неографа. Первая часть программы, где вводится орграф, создается матрица достижимости и перемножаются ее симметричные элементы, берется из предыдущей программы. Приведем только те строки, которые идут после закомментированной строки ########.

Рассмотрим граф с рис. 2.8 (см. с. 38). Список дуг для этого графа имеет вид addedge([[1,5],[5,3],[3,1],[2,4], [4,6],[6,2],[2,3]],G). Матрица M определяет неограф G1, в котором связность соответствует сильной связности исходного графа. Список ребер создается в двойном цикле при обходе верхней треугольной части матрицы M. В отличие от орграфа, ребра теперь представляют собой множества и обозначаются как множества, т.е. фигурными скобками. Далее создается неограф, и остается только воспользоваться функцией components для получения результата.

eqWorld.ipmnet.ru

Программа 11

>##########################################

>E:={}:

>for i to n do

>for j from i+1 to n do

>if M[i,j]<>0 then E:=E union {{i,j}};end;

>od:

>od:

>G1:=void(n): addedge(E,G1): # Новый неограф

>Компоненты=components(G1);

>ЧислоКомпонент=nops(components(G1));

от вершины 3 к вершине 1.

Рис. 5.2

5.9. Пути в орграфе

Для того чтобы вычислить число маршрутов длины 3, необходимо обычным образом задать граф, подключив пакет networks, найти его матрицу смежности (A:=adjacency(G)), возвести ее в третью степень (M:=A^3) и просуммировать все элементы полученной матрицы: add(add(M[i,j],i=1..n),j=1..n).

eqWorld.ipmnet.ru

5.10. Изображение орграфа 107

5.10. Изображение орграфа

Недостатком процедуры draw системы Maple 1 является то, что орграфы изображаются, как неографы. Кроме того, подписываются только вершины, а ребра (дуги) остаются безымянными, что затрудняет чтение рисунка. Приведем программу для рисования орграфов с пометкой дуг. Оператором save программа записывается на диск в файл draw.m. Вызвать программу можно оператором read. Для удобства пользования лучше указывать абсолютный адрес файла, тогда Maple может его найти и в том случае, когда файл запускается не из текущей директории. Отметим также, что в Maple не предусмотрено раздельное пользование файлами при чтении, поэтому две программы не могут одновременно пользоваться файлом draw.m. Для рисования вершин использован оператор disk, рисующий круг и позволяющий использовать заливку цветом. Если применить circle, то получится окружность. Стиль стрелок записан в один параметр q. Этот параметр

регулирует геометрию и цвет стрелок и может быть изменен. Для упрощения программы многие линейные размеры взяты в абсолютныхeqWorld.ipmnet.ru

величинах, поэтому для каждого случая использования программы необходимо вручную подбирать некоторые значения. Например, изображения номеров вершин сдвинуты на 4 единицы по оси x и на единицу по оси y: [x[k]+4,y[k]+1,r[i][j]], а номера дуг — на единицу по оси y вверх: (y1+y2)/2+1.

Программа 12

>restart;

>Draw1:=proc(S,G)

>local q,k,n,n1,m,m1,i,j,t,v,x,y,x1,x2,y1,y2,c,e,E;

>n:=nops(vertices(G)): # Число вершин графа

1 Версии 8, 9, 9.5 и 10.

eqWorld.ipmnet.ru

ботанной процедуры рисования орграфа. В качестве оригинала берется граф с рис. 2.2 (см. с. 31). Сначала для сравнения дается стандартное изображение, встроенное в пакет networks с линейной опцией вывода Linear, предусматривающей расположение вершин столбцами слева направо.

Программа 13

>restart;

>with(plots): with(plottools): with(networks):

>E:=[[1,4],[2,1],[2,3],[3,1],[2,5], # Дуги

>[3,5],[4,3],[4,5]]:

>addedge(E,G): r:=[4,1],[3,2],[5]:

>draw(Linear(r),G); # Стандартный рисунок

eqWorld.ipmnet.ru

5.11.Кратчайший путь в орграфе

5.11.1.Операторы shortpathtree и allpairs. Рассмотрим граф с рис. 4.2 (см. c. 58). Вычислим кратчайший путь в графе, пользуясь стандартными процедурами Maple. В программе 14 независимо используются оба оператора, shortpathtree и allpairs.

Программа 14

>restart: with(networks):

>new(G): n:=6:

>addvertex(i$i=1..n,G); # Вершины исходного графа

1, 2, 3, 4, 5, 6

>addedge([seq([i,i+3],i=1..3),[1,2],[2,3],[4,5],

eqWorld.ipmnet.ru

>[5,6],[1,5]],weights=[12,16,20,11,15,13,14,26],G):

>draw(Linear([1,4],[2,5],[3,6]),G);

>T:=shortpathtree(G,1): # Дерево минимальных путей

>W:=vweight(T); # Таблица весов (расстояний) eqWorld.ipmnet.ru

5 6

> MinPath:=W[6]; # Ответ. Минимальный путь 1 - 6

MinPath := 39

>allpairs(G)[1,6]; # Другой способ решения задачи

39

5.11.2. Вычисление минимальных путей. В прикладных задачах на графах широко применяется вычисление кратчайших путей методом Дейкстры. Алгоритм вычисления приведен на с. 58. В следующей программе реализован этот алгоритм. Ответ заносится в переменную MinPath. Алгоритм заканчивает свою работу, когда flag принимает

eqWorld.ipmnet.ru