2. Правила двоичной арифметики

В любой позиционной системе счисления операции сложения и вычитания двух чисел A  B=С осуществляются поразрядно, начиная с младших разрядов.

При сложении переполнение из младшего разряда переносится в старший разряд, т. е. код суммы каждого i-ого разряда с_i получается в результате сложения a_i + b_i + 1, где 1 соответствует переносу из младшего (i -1)-разряда в i-ый, если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления.

При вычитании требуемый заем производится из старшего разряда, т. е. код разности каждого i-ого разряда с_i получается в результате вычитания a_i - b_i – 1, где 1 соответствует заему, если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления.

2.1. Правила сложения двоичных чисел.

В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из соседнего младшего разряда, если она есть.

Поразрядная сумма формируется по следующим правилам:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 – осуществляется перенос 1 в старший разряд

Например, сложение 5₁₀ + 3₁₀ = 8₁₀

101₂ = 5₁₀

+ 011₂ = 3₁₀

1000₂ = 8₁₀

Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи устройств, называемых двоичными сумматорами.

2.2. Правила вычитания двоичных чисел.

В каждом разряде выполняется вычитание из цифры числа цифры вычитаемого, при вычитании из нуля единицы происходит заем единицы из соседнего старшего разряда, которая равна 2 единицам данного разряда.

Поразрядная разность формируется по следующим правилам:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 – после заема 1 из старшего разряда

Например, вычитание 6₁₀ – 3₁₀ = 3₁₀

0110₂ = 6₁₀

–0011₂ = 3₁₀

0011₂ = 3₁₀

Как правило, вычитание двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи двоичных сумматоров: при представлении вычитаемого в дополнительном или обратном коде операцию вычитания можно заменить операцией сложения.

2.3. Правила умножения двоичных чисел.

Умножение двоичных чисел производится путем образования промежуточных произведений и последующего их суммирования.

Поразрядные произведения формируются по следующим правилам:

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

Например, умножение 5₁₀ x 3₁₀ = 15₁₀

101

11

101

+101

1111

2.4. Правила деления двоичных чисел.

Деление двоичных чисел производится по правилам умножения и вычитания.

Например, деление 6₁₀ : 3₁₀ = 2₁₀

110 : 11 = 10

110 11

–11 10

00

3. Операция сдвига по разрядной сетке

В компьютерах, кроме операции алгебраического суммирования двоичных чисел, к которой относятся операции сложения и вычитания, выполняется операция сдвига числа по разрядной сетке влево и вправо, осуществляющая, фактически, умножение и деление двоичных чисел.

В случае сдвига влево осуществляется умножение двоичного числа на 2^j, а при сдвиге вправо – деление на 2^j, где j – количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число.

Например, осуществить сдвиг на 2 разряда

1) 000011₂ = 3₁₀ влево

001100₂ = 12₁₀

т. е. 3 х 4(2²) = 12₁₀

2) 001000₂ = 8₁₀ вправо

000010₂ = 2₁₀

т. е. 8 : 4(2²) = 2₁₀

В компьютерах часто используется циклический сдвиг, при выполнении которого разрядная сетка, отведенная для операнда (числа, над которым производится действие), представляется замкнутой в кольцо. Тогда при сдвиге влево содержимое старшего разряда попадает в младший разряд операнда, а при сдвиге вправо содержимое младшего разряда попадает в старший разряд операнда.