ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ

1. Множество. Булеан. Способы задания множеств. Основные операции над множествами.

2. Алгебра множеств, её основные формулы.

3. Понятие булевой алгебры. Алгебра множеств как модель булевой алгебры. Конституенты.

4. Декартовы произведения множеств.

5. Бинарные отношения.

6. Отображения множеств. Образы, прообразы, обратные отображения, виды отображений. Функции, их свойства.

7. Бинарные отношения специального вида. Отношения порядка.

8. Эквивалентность и мощность множеств. Кардинальные числа, шкала кардинальных чисел.

9. Конечные, бесконечные, счётные, бессчётные, континуальные множества, их свойства.

10. Арифметика кардинальных чисел.

11. Выборки. Правила суммы и произведения. Перестановки без повторений и с повторениями.

12. Размещения без повторений и с повторениями.

13. Сочетания без повторений и с повторениями.

14. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.

15. Формула включений и исключений.

16. Число элементов в объединении множеств.

17. Производящие функции, экспоненциальные производящие функции, действия над ними. Производящие функции некоторых комбинаторных последовательностей.

18. Метод рекуррентных соотношений. Решение линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами.

19. Числа Фибоначчи.

20. Граф (орграф), его элементы. Виды графов (орграфов). Отношения между элементами графа (орграфа). Способы задания.

21. Степень вершины графа (орграфа).

22. Изоморфизм. Связность.

23. Маршруты в графах, их виды. Цепь, цикл. Пути в орграфах, их виды. Контур. Теоремы о маршрутах и циклах.

24. Обходы графов. Фундаментальные циклы.

25. Дерево (ордерево). Корневые, бинарные деревья. Теоремы о деревьях.

26. Планарные графы. Укладка графа на плоскости.

27. Хроматические графы. Раскраски графов.

28. Определения двухполюсной направленной сети, потока. Задача о максимальном потоке. Разрез. Теорема Форда-Фалкерсона.

29. Построение потока минимальной стоимости.

30. Алфавит, слово, код. Схема алфавитного кодирования. Префиксные коды. Критерий однозначности кодирования.

31. Неравенство Макмиллана.

32. Избыточность кода. Коды с минимальной избыточностью. Теорема редукции. Код Хаффмена.

33. Шары, сферы и циклы в n-мерном кубе. Кодовое расстояние Хемминга. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки.

34. Код Хемминга, исправляющий одну ошибку.

35. Порождающая и проверочная матрицы кода. Двойственный код.

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1. Перечень вопросов для проверки практических

навыков студентов по дисциплине «Дискретная математика»

1. Доказательство тождеств с множествами.

2. Построение булеана данного множества.

3. Основные формулы алгебры множеств.

4. Доказательство тождеств с декартовыми произведениями, бинарными отношениями, функциями.

5. Нахождение области определения, области значений бинарного отношения, обратного бинарного отношения, композиции.

6. Исследование бинарных отношений специального вида: доказательство рефлексивности (иррефлексивности), симметричности, антисимметричности, транзитивности.

7. Эквивалентность.

8. Арифметические операции с кардинальными числами.

9. Правила суммы и произведения.

10. Решение задач на основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания).

11. Бином Ньютона.

12. Свойства биномиальных коэффициентов.

13. Формула включений и исключений.

14. Нахождение производящей, экспоненциальной производящей функции для данной последовательности.

15. Нахождение последовательности, для которой данная функция является производящей, экспоненциальной производящей.

16. Действия над производящими функциями.

17. Применение производящих функций для доказательства комбинаторных тождеств.

18. Производящие функции выборок для некоторых схем выбора.

19. Метод рекуррентных соотношений.

20. Решение линейных рекуррентных уравнений с постоянными коэффициентами.

21. Упорядочение дуг и вершин орграфа.

22. Экстремальные задачи теории графов (алгоритм Дейкстры, Беллмана-Мура, Прима, нахождения максимального пути и др.).

23. Распознавание эйлеровости и гамильтоновости графа. Нахождение эйлерова цикла, гамильтонова контура и пути.

24. Нахождение фундаментальных циклов.

25. Алгоритм укладки графа на плоскости.

26. Оценка хроматического числа графа.

27. Алгоритм Форда-Фалкерсона.

28. Построение потока минимальной стоимости.

29. Распознавание однозначности кодирования (теорема Маркова, неравенство Макмиллана).

30. Вычисление избыточности кода.

31. Код Хаффмена.

32. Кодовое расстояние Хемминга.

33. Код Хемминга, исправляющий одну ошибку.

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2. Перечень вопросов необходимого минимума для получения

положительной оценки на экзамене по курсу «Дискретная математика»

1. Множество. Равенство множеств. Пустое множество, универсум.

2. Подмножество. Собственное и несобственное подмножество.

3. Булеан.

4. Основные операции над множествами.

5. Булева алгебра.

6. Декартово произведение множеств.

7. Бинарное отношение.

8. Отображение множества.

9. Образ, прообраз, обратное отображение.

10. Сюръекция, инъекция, биекция.

11. Функция, обратная функция.

12. Рефлексивность (иррефлексивность), симметричность, антисимметричность, транзитивность.

13. Эквивалентность.

14. Порядок, линейный и полный порядок.

15. Эквивалентность и мощность множеств.

16. Кардинальные числа.

17. Конечные, бесконечные, счётные, бессчётные, континуальные множества.

18. Выборки. Правила суммы и произведения.

19. Перестановки без повторений и с повторениями.

20. Размещения без повторений и с повторениями.

21. Сочетания без повторений и с повторениями.

22. Бином Ньютона.

23. Формула включений и исключений.

24. Производящие функции, экспоненциальные производящие функции.

25. Линейное рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами.

26. Граф (орграф), его элементы.

27. Смежность и инцидентность.

28. Степень вершины графа (орграфа).

29. Изоморфизм.

30. Связность.

31. Планарные графы.

32. Маршруты в графах.

33. Цепь, цикл.

34. Пути в орграфах.

35. Контур.

36. Теоремы о маршрутах и циклах.

36. Дерево (ордерево).

37. Теоремы о деревьях.

38. Планарный граф.

39. Хроматическое число графа.

40. Двухполюсная направленная сеть, поток.

41. Разрез.

42. Теорема Форда-Фалкерсона.

43. Алфавит, слово, код.

44. Схема алфавитного кодирования.

45. Префиксный код.

46. Однозначность кодирования.

47. Теорема Маркова.

48. Неравенство Макмиллана.

49. Избыточность кода.

50. Оптимальный код.

51. Теорема редукции.

52. Код Хаффмена.

53. Кодовое расстояние Хемминга.

54. Коды, обнаруживающие и исправляющие ошибки.

55. Код Хемминга, исправляющий одну ошибку.

56. Линейная комбинация двоичных векторов, линейная зависимость и независимость.

Примечание: для получения положительной оценки все теоремы из данного списка достаточно знать без доказательств.