2.2. Синтез цифровых устройств на базе правил и законов алгебры логики

2.2.1. Синтез одноразрядного полного комбинационного

сумматора

Пусть имеется два числа:

А = а₁а₂ ... а_i–1 а_iа_i+1 ... а_n,

B = b₁b₂ ... b_i–1 b_ib_i+1 ... b_n.

В зависимости от значений аргументов а_i, b_i, z_i (перенос в i–й разряд) формируется значение булевых функций C_i, и П_i. Введем следующие обозначения:

a_i = х, b_i = y, z_i = z,

C_i = С , П_i = П,

где С_i — значение суммы в разряде i; П_i — значение переноса из разряда i.

Тогда таблица истинности, отражающая алгоритм работы сумматора, примет следующий вид:

х	y	z	С	П
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

но при этом:

Запись одной функции с участием другой носит название совместной минимизации. Следовательно, с учетом этого функция С будет иметь вид:

Исходя из этого, логическая схема синтезированного одноразрядного полупроводникового комбинаторного сумматора будет иметь вид (рис 2.16).

Рис. 2.16. Схема синтезированного одноразрядного полупроводника комбинаторного сумматора

Аналогичным образом будет проходить синтез одноразрядного комбинационного полусумматора (устройство для сложения разрядов двух чисел без учета переноса из предыдущего разряда, имеющее два входа и два выхода), одноразрядного полного комбинационного сумматора на двух полусумматорах, одноразрядного комбинационного вычитателя.

3. Введение в теорию конечных автоматов

3.1. Основные положения теории автоматов

3.1.1. Основные понятия теории автоматов. Типы автоматов

Цифровой автомат представляет собой объект, определяемый следующей шестеркой характеристик:

{А,W, Z, Г О а_н},

где:

А = {}– множество состояний цифрового автомата;

W =–множество выходных сигналов цифрового автомата;Z = {z₁, z₂, ..., z_n} – множество входных сигналов цифрового автомата; О–функция выработки выходного сигнала (t + 1) в зависимости от текущего состоянияа(t) цифрового автомата и действующего на его входе сигнала z(t); (t + 1) О, а(t), z(t)); Г – функция перехода цифрового автомата в новое состояние а(t + 1) в зависимости от его текущего состояния а(t) и действующего на его входе сигнала z(t);

а(t + 1)Г, а(t), z(t)); а_n, А– начальное состояние цифрового автомата.

Если рассматривать множество входных сигналов Z как множество букв входного алфавита, а множество выходных сигналов W как множество букв выходного алфавита, то цифровой автомат можно рассматривать как преобразователь слов – входному слову, состоящему из S букв входного алфавита, он ставит в соответствие выходное слово, состоящее из S букв выходного алфавита. В этом случае эквивалентность двух цифровых автоматов можно определить следующим образом: два цифровых автомата являются эквивалентными, если они, имея одинаковые множества входных и выходных сигналов, являются одинаковыми преобразователями слов, т. е. при любом начальном состоянии они для любого входного слова формируют одинаковые выходные слова.

Цифровой автомат называется конечным, если используемые для его задания множества конечны.

Цифровой автомат является полностью определенным, если каждой паре a(t), z(t) ставится в соответствие пара a(t + 1), (t + 1). В противном случае цифровой автомат называется частично определенным, или просто частичным.

Под данное определение цифрового автомата подпадают практически все накапливающие узлы ЭВМ. Хорошо разработанная теория цифровых автоматов находит широкое применение для синтеза и анализа сложных схем в вычислительной техники.

Существует два основных вида цифровых автоматов:

• Мура;

• Мили.

Автомат Мили определяется как автомат общего типа, т. е. его выходной сигнал и новое состояние являются функцией текущего состояния и действующего на входе сигнала.

Что же касается автомата Мура, то его выходной сигнал прямо не зависит от входного сигнала и определяется состоянием автомата, т. е. работа цифрового автомата типа Мура задается в виде уравнений:

а(t + 1, Г, а(t) z(t)

(t + 1)О,а(t)

Зависимость выходного сигнала от входного в автомате Мура проявляется косвенно, т. е. через зависимость состояния от входного сигнала.

На практике широко используются две формы задания цифрового автомата:

• через таблицы;

• с помощью графа.

Задание цифрового автомата через таблицы. Автомат типа Мили задается с помощью двух таблиц:

• таблица перехода, определяющая правило формирования нового состояния на основании текущего состояния и действующего входного сигнала;

• таблица выхода, определяющая правило формирования выходного сигнала на основании текущего состояния и действующего входного сигнала.

На рис. 3.1 приведён пример табличного задания автомата Мили.

Таблица перехода Таблица выхода

	a1	a2	a3	a4
z1
z2
z3

Рис. 3.1. Табличное задания автомата Мили.

Приведенный пример цифрового автомата имеет множество входных сигналов Z = {z₁, z₂, z₃}, множество состояний А ={а₁, а₂, а₃, а₄} и множество выходных сигналов W .

Таблицы переходов и выходов задают следующую дисциплину переходов и формирования выходного сигнала: если автомат находится в текущий момент в состоянии а_j и получает по входу сигнал z_i, то он переходит в новое состояние, которое записано в клетке таблицы переходов, расположенной на пересечении j–й колонки и i–й строки, и вырабатывает выходной сигнал, который определен значением в клетке, расположенной в таблице выходов на пересечении j–й колонки и i–й строки.

Например, если автомат находится в состоянии а₄, а на вход поступает сигнал z₂, то он переходив состояние а₁ и вырабатывает выходной сигнал ₂.

Автомат типа Мура задается с помощью одной таблицы, в которой определяются правило формирования нового состояния на основании текущего состояния и действующего входного сигнала и связь выходного сигнала с состоянием цифрового автомата.

На рис. 3.2 приведен пример табличного задания автомата Мура.

	a1	a2	a3	a4
z1	a2	a1	a1	a4
z2	a3	a4	a1	a3
z3	a4	a3	a4	a2

Рис. 3.2. Табличное задание автомата Мура

Таблица переходов также, как и в случае автомата Мили, задает следующую дисциплину переходов: если автомат находится в текущий момент в состоянии а_j и получает по входу сигнал z_i, то он переходит в новое состояние, которое записано в клетке таблицы переходов, расположенной на пересечении j–й колонки и i–й строки, и вырабатывает выходной сигнал, который определяется новым состоянием цифрового автомата (в рассматриваемой таблице в самой верхней строке перечислены выходные сигналы в их взаимосвязи с состояниями, перечисленными во второй строке).

Например, если автомат находится в состоянии а₄, а на вход поступает сигнал z₂, то он переходит в состояние а₃, которому соответствует выходной сигнал ₁.