Левданский_Прикладная механика

Для большинства материалов в том числе и для стали G=0,4E. Для стали G=8·1010Па.

Расчеты на сдвиг

Элементами конструкций, работающими на сдвиг, являются заклепки, штифты, болты повышенной точности, устанавливаемые в калиброванные отверстия без зазоров, а также сварные соединения.

Рассмотрим болтовое соединение, нагруженное силами F. Под действием сил F листы будут давить на болт. Кроме того, в результате затяжки гайки, со стороны листов на головку болта и гайку будут действовать вертикальные реакции R. Из рисунков видно, что усилия

стремятся срезать болт по сечению m-n. Определим методом сечений внутренние силы, для этого рассмотрим равновесие верхней части болта

последними можно пренебречь.

Поперечная сила Q вызывает касательные напряжения в поперечном сечении болта.

Q F

A A

d 2

где A – площадь поперечного сечения.

4

Эта формула справедлива также при расчете штифтов, заклепок и т.д. Если в соединении нагрузку F воспринимают несколько болтов, при этом каждый соединительный элемент имеет несколько плоскостей среза, то общая площадь среза будет равна

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

22

где n – количество соединительных элементов (болтов, заклепок); k – число плоскостей среза у одного соединительного элемента.

При расчете болтовых и заклепочных соединений необходимо учитывать, что нагрузка приложенная к элементам соединений, вызывает смятие их поверхностей соприкосновения. В расчетах площадь смятия принято принимать равной площади проекции сминаемой поверхности на плоскость перпендикулярную силе F т.е. Aсм=d·h. Если в соединении нагрузку воспринимают несколько болтов (заклепок), то общая площадь смятия будет равна Aсм=d·h·n где n – число соединительных элементов (болтов, заклепок). Так как болты (заклепки) ослабляют соединяемые детали, то последние необходимо проверять на разрыв по ослабленному отверстиями сечению.

F

b n d

где b и δ – размеры сечения листа; n' – число отверстий в ослабленном сечении; [σ] – допускаемое напряжение на растяжение; d – диаметр отверстия.

Сварные соединения

Основными типами сварных соединений являются: соединения стыковые; соединения нахлѐсточные и соединения тавровые.

Практикой установлено, что при сварке в стык соединение стальных деталей разрушается преимущественно на участках основного металла, прилегающих к шву. Поэтому расчет сварного соединения встык выполняется по нормальным напряжениям и размерам сечения детали в зоне

шва. Так расчет стыкового шва расположенного под углом α к действующему усилию (как правило, α=45°) ведется по размерам сечения детали, без учета длины шва, в предположении, что шов равнопрочен основному металлу. Нормальные напряжения в сварном стыковом соединении определяются по формулам для осевого растяжения (сжатия).

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

Условия прочности и допускаемые напряжения

Материал в области среза находится в напряженном состоянии чистого сдвига. Тогда условие прочности можно записать в общем виде

max

где τmax – максимальное касательное напряжение; [τ] – допускаемое напряжение на сдвиг, принимается для болтов, шпилек равным (0,5÷0,6)[σ]; [σ] – допускаемое напряжение на растяжение.

Допускаемые напряжения [τэ] для сварных соединений устанавливаются с учетом качества технологического процесса сварки, характера загрузки швов (переменная, статическая), и определяются как

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

Единица статического момента кубический метр (м3). Статический момент может быть положительным, отрицательным и в частности равным нулю.

Используя теорему о среднем интегрального исчисления можно записать

где Yc и Zc – средние значения подынтегральных функций представляющие для плоских фигур координаты их центра тяжести.

Тогда формулы для определения центра тяжести сечения можно записать следующим образом

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

25

Оси, проходящие через центр тяжести, называют центральными. Из формул следует, что статический момент сечения относительно центральной оси равен нулю. Если сечение удается разбить на конечное число отдельных элементов, площади которых и координаты центра тяжести известны, то интегрирование можно заменить суммированием

Моменты инерции сечения

Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси.

Полярным моментом инерции сечения называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой точки, которую принято называть полюсом

A

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны. Единицей

осевых и полярного моментов инерции является метр в четвертой степени

(м4).

Из рисунка видно, что ρ2=y2+z2 тогда

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей, т.е. начала координат.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат называют взятую по всей площади сечения сумму произведений

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

26

площадей элементарных площадок на произведение их расстояний до осей координат

I yz zydA

A

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения сечения относительно осей координат. Если одна из осей координат представляет собой ось симметрии сечения, то каждому элементу dA имеющему положительную координату z, соответствует такой же симметрично располо-

Z

является осью симметрии, равен нулю.

Параллельный перенос осей

Пусть оси Y и Z проходят через центр тяжести сечения, т.е. являются центральными осями Yc и Zc тогда Sz=Sy=0. В этом случае записанные выражения будут иметь вид

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

27

Теперь рассмотрим подобные преобразования в отношении полярного момента инерции сечения

их осевые моменты инерции сечения Iz и Iy , а затем повернуть эти оси на произвольный угол α и найти моменты инерции относительно новых осей Izα и Iyα , то можно заметить, что Iz ≠Izα и Iy ≠Iyα в тоже время Iz + Iy= Izα + Iyα .

значений, называются главными осями. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции. Если у сечения имеется ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей (вторая главная центральная ось соответственно перпендикулярна ей). В общем случае положение главных центральных осей (угол наклона) относительно произвольных центральных осей можно определить, используя зависимость

Положительный угол α откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный по ходу часовой стрелки. Величины главных моментов инерции определяются по зависимости

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

28

Геометрические характеристики простых сечений

Прямоугольник

Круг

Аналогичные вычисления можно выполнить и для других геометрических фигур

Треугольник равнобедренный

Моменты инерции сложных сечений

Момент инерции сложного сечения равен сумме моментов инерции простых фигур, на которые можно разбить сложное сечение. При сложении моментов инерции простых фигур составляющих сложное сечение, необходимо учитывать взаимное расположение осей для всего сечения и для составляющих его фигур. Если эти оси параллельны, вычисления

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

29

производятся по зависимостям, полученным в разделе «Параллельный перенос осей» если оси непараллельные расчеты усложняются.

Моменты инерции прокатных сечений (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) и для других, не рассмотренных выше, простых фигур имеются в справочной литературе.

КРУЧЕНИЕ

Деформация кручения прямого бруса вызывается внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси бруса. Моменты внешних пар сил называются скручивающими.

момент вычисляют по формуле

N

T (Нм)

где N – мощность в (Вт); ω – угловая скорость (rad/сек).

Напряжения при кручении брусьев круглого сплошного и кольцевого сечений

Напряжения и деформации при кручении существенно зависят от формы поперечного сечения бруса. Гипотеза плоских сечений (нет продольных деформаций) справедлива лишь для бруса с круглым сплошным или кольцевым поперечным сечением. В остальных случаях происходит искажение поперечных сечений.

Теория кручения бруса круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях

1. Ось бруса ОС после деформации остается прямой линией.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

30

2.Расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными, т.е. удлинения (укорочения) волокон отсутствуют.

3.Поперечные сечения плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса после деформации (гипотеза плоских сечений).

4.Радиусы поперечных сечений, поворачиваясь на определенный угол, остаются прямыми (например, радиус ВС займет положение В'С).

Справедливость этих допущений подтверждена на практике.

В поперечных сечения в рассматриваемом случае возникают лишь касательные напряжения, определяемые по формуле

где Мк – крутящий момент в исследуемом поперечном сечении; – расстояние от исследуемой точки до оси бруса; Ip – полярный момент инерции поперечного сечения бруса.

перпендикулярно радиусу, проходящему через эту точку. Наибольшей величины касательные напряжения достигают в крайних точках сечения, наиболее удаленных от оси бруса:

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.