Левданский_Прикладная механика

11

Используя закон Гука, относительную поперечную деформацию можно выразить через нормальное напряжение

E

В данную формулу величина нормального напряжения подставляется со знаком, учитывающим вид нагружения т.е. при растяжении знак плюс, при сжатии знак минус.

Величина коэффициента Пуассона для реальных материалов находится в пределах 0<μ≤0,5. Для большинства материалов μ=0,25-0,35, для стали

μ≈0,3.

Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии

Условие прочности выражает требование, что бы максимальное расчетное напряжение в стержне не превышало значения допускаемого напряжения, и записывается в виде следующего неравенства

N max

x,max A

где – допускаемое напряжение (то максимальное напряжение,

которое допускается создавать при рабочих нагрузках).

Условие жесткости выражает требование, чтобы расчетное удлинение стержня не превышало допускаемого удлинения, и записывается в виде неравенства

lmax l

Указанные условия позволяют произвести три вида расчетов

1) конструкторский или проектный (подбор поперечного сечения)

Из полученных площадей поперечного сечения принимают максимальную.

2)проверочный в этом случае все известно надо проверить выполнение условий прочности и жесткости

3)расчет грузоподъемности или несущей способности

После сравнения полученных результатов принимают наименьшее значение.

ОСНОВНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ

Механические характеристики материалов, характеризующие их свойства, получают экспериментально на испытательных машинах. Испытания на растяжение и сжатие являются наиболее распространенными, т.к. позволяют определить основные механические

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

12

свойства материалов. Современные испытательные машины, снабжены устройством, автоматически записывающим диаграмму зависимости между усилием и деформацией образца. Диаграмму, записываемую машиной, называют машинной диаграммой.

I. Диаграмма растяжения пластичных материалов

Характерная машинная диаграмма, получаемая при растяжении образца из пластичного материала, показана на рис.1. На диаграмме отчетливо просматриваются четыре характерные зоны. Это зона пропорциональности (на диаграмме – прямая линия ОА); зона текучести (на диаграмме – практически горизонтальный участок ВС); зона упрочнения (на диаграмме – следующий участок СD до достижения максимального усилия) и зона местной текучести (на диаграмме – участок DK завершающийся разрывом образца).

Рис. 1

В зоне пропорциональности деформация образца прямо пропорциональна растягивающей силе. Таким образом, до величины силы, соответствующей точке А, соблюдается закон Гука:

l Fl EA

где l - длина образца; Е - модуль упругости; А - площадь поперечного сечения образца.

Наибольшую силу, до которой справедлив закон, Гука, обозначают Fпц. В зоне пропорциональности возникают только упругие деформации (деформации, практически полностью исчезающие после снятия нагрузки).

Впоследующих зонах одновременно с упругими деформациями

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

13

появляются и пластические (остаточные). Как правило, зоной пропорциональности ограничивается диапазон рабочих нагрузок для элементов конструкций и механизмов.

Следующий участок ВС, почти параллелен оси ∆l, т.е. практически без увеличения силы F образец продолжает деформироваться или, как говорят, "течет". Участок ВС иногда называют площадкой текучести. Силу, соответствующую пределу текучести, обозначают Fт.

Рис.2.

За площадкой текучести материал как бы упрочняется и снова приобретает способность оказывать сопротивление возрастающей нагрузке (участок СD). На этом участке небольшим увеличениям растягивающей силы соответствуют большие остаточные деформации образца. Зависимость между силой и удлинением криволинейная. Достигнув некоторой величины Fmax, нагрузка при дальнейшем деформировании образца начинает падать, т.к. в это время в образце появляется местное сужение ("шейка", рис.2в).

До силы Fmax, рабочая часть образца деформируется равномерно. При появлении "шейки" деформации в основном развиваются в этой области, в то время как остальные участки почти не деформируются. Поперечные размеры образца в области "шейки" резко уменьшаются, и происходит разрыв (точка К на диаграмме).

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

14

На рис. 2а показан образец до испытания, на рис. 2б – образец, нагруженный силой F<Fmax, и на рис. 2в – образец непосредственно перец разрывом.

2. Характеристики прочности материала

Силы Fпц, Fт, Fmax, не являются характерными величинами для данного материала, так как зависят от площади поперечного сечения образца. Поэтому машинную диаграмму, показанную на рис. I, следует перестроить, разделив силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца А0, а абсолютные удлинения - на расчетную длину l0. Тогда диаграмма будет изображать зависимость между напряжением σ и относительным

удлинением образца ε (рис. 3) и вместо сил Fпц, Fт, Fmax получим напряжения:

где σпц – предел пропорциональности; σт – предел текучести, σв – временное сопротивление (иногда это напряжение называют пределом прочности и обозначают σпч). Перечисленные пределы и являются характеристиками прочности материала.

Дадим определения этим напряжениям.

Предел пропорциональности - это наибольшее напряжение, до которого справедлив закон Гука, т.е. до которого сохраняется прямая пропорциональность между напряжением и относительным удлинением.

Предел текучести - это напряжение, при котором материал "течѐт", т.е. при котором деформация растет без увеличения нагрузки.

Временное сопротивление, или предел прочности - это напряжение, соответствующее наибольшему значению нагрузки, которую способен выдержать образец.

Чем больше значения величин σпц , σт и σв, тем материал прочнее. Следует отметить, что диаграмма, показанная сплошной линией на рис. 3, является условной, так как напряжения получены путем деления силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца. Фактически площадь все время будет уменьшаться, особенно заметно это уменьшение после достижения силой наибольшего значения. Поэтому истинное напряжение получим, если силу разделим на площадь поперечного сечения образца, соответствующую данной силе. Истинные напряжения, которые на рис. 3 показаны штриховой линией, будут больше условных. Для практических целей используют обычно условные напряжения.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

15

3. Характеристики пластичности материала

Кроме характеристик прочности, при растяжении определяют характеристики пластичности. Характеристиками пластичности являются относительное остаточное удлинение ε после разрыва и относительное остаточное уменьшение площади поперечного сечения ψ в самом тонком месте испытанного образца.

В момент разрыва длина образца больше, чем после разрыва, т.к. при разрыве исчезают упругие деформации lyp (рис. I). Тогда относительное

остаточное удлинение образца после разрыва будет равно

где l0 – длина расчетной части образца до испытания, lk – конечная длина расчетной части образца, т.е. после разрыва.

Относительное изменение площади поперечного сечения образца

A0 Ak

A0

где А0 – площадь сечения до испытания; Ак – площадь сечения шейки после разрыва.

Чем больше ε и ψ, тем материал пластичнее.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

16

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

17

предварительном растяжении выше предела текучести меняет свои свойства.

Рассмотрим диаграмму деформации исходного образца (рис.6а), и диаграмма растяжения образца предварительно растянутого (рис.6б). Из диаграмм видно, что при повторном нагружении предел пропорциональности увеличился, пропала площадка текучести. Следовательно, после предварительной вытяжки материал стал более упругим и более прочным, так как увеличились пределы пропорциональности и текучести, в то же время он стал более хрупким, так как уменьшилась относительная остаточная деформация разрыва. Такое изменение свойств материала в результате предварительного пластического деформирования называют наклепом.

Наклеп может возникнуть не только при растяжении, но и при любых других видах пластического деформирования. Наклеп широко используется в технике. Цепи, тросы часто подвергают предварительной вытяжке, с тем, чтобы избежать остаточных удлинений в дальнейшем при работе. В нежелательных случаях наклеп можно снять отжигом.

6.Диаграмма растяжения хрупких материалов

Кхрупким материалам относятся чугун, высокоуглеродистая сталь, стекло, кирпич, бетон и др. Эти материалы разрушаются без образования заметных остаточных деформаций. Для хрупких материалов величина относительного остаточного удлинения при разрыве не превышает 0,02– 0,05 (2–5 %). На диаграмме растяжения хрупкого материала отсутствует площадка текучести и зона упрочнения (рис. 7). По диаграмме растяжения

можно определить только предел пропорциональности σпц и временное сопротивление σв или предел прочности σпч хрупкого материала (рис.7б). Для этого по машинной диаграмме (рис.7а) определяют силу, соответствующую пределу пропорциональности Fпц, и наибольшую

где А0 – площадь поперечного сечения образца до испытания.

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

18

7. Диаграмма сжатия пластичных материалов

Пластичный материал при сжатии в начальной стадии ведет себя так же, как и при растяжении. На некотором участке ОА (рис. 8) наблюдается прямо пропорциональная зависимость между абсолютной деформацией (укорочением) и силой или между относительной деформацией и напряжением.

Затем после некоторого искривления наблюдается площадка текучести, которая при сжатии менее ярко выражена, чем при растяжении. При дальнейшем нагружении сжимающая сила все время возрастает, так как образец расплющивается и площадь его поперечного сечения увеличивается. Образец из пластичного материала довести до разрушения практически невозможно, так как он сжимается в тонкий диск, и дальнейшее испытание ограничивается возможностями машины.

По машинной диаграмме (рис. 8а) можно определить наибольшую силу Fпц, до которой справедлив закон Гука, и силу Fт, при которой материал «течет». Разделив эти силы на первоначальную площадь поперечного сечения образца А0, найдем предел пропорциональности и предел текучести:

которые для пластичного материала при сжатии получаются по величине примерно такими же, как и при растяжении. Предел прочности при сжатии пластичного материала получить нельзя (рис.8б).

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

19

8. Диаграмма сжатия хрупкого материала

Диаграмма сжатия хрупкого материала аналогична диаграмме растяжения (рис. 7). Предел пропорциональности и предел прочности хрупкого материала при сжатии определяют так же, как и при растяжении. Необходимо обратить внимание на то, что предел прочности при сжатии хрупкого материала σвс значительно больше, чем предел прочности при растяжении σвр. Величина отношения К=σвр/ σвс для чугуна колеблется от 0,2 до 0,4. Для керамических материалов К=0,1–0,2.

9. Допускаемое напряжение

Одной из наиболее важных величин, определяемых по результатам испытаний на растяжение и сжатие, является допускаемое напряжение. Наибольшие напряжения, фактически возникающие в конструкции, не должны превышать некоторой допускаемой величины. Причем допускаемое напряжение должно быть таким, чтобы конструкция, рассчитанная по этому напряжению, работала не на пределе, а с определенным запасом.

Для хрупкого материала предельным (опасным) напряжением является предел прочности или временное сопротивление, так как при этом напряжении материал разрушается.

Для пластичного материала за опасное напряжение принимается предел текучести, так как при достижении его в пластичном материале появляются большие остаточные деформации. При больших остаточных деформациях существенно меняются размеры отдельных элементов конструкции и нарушается ее нормальная работа в целом. Учитывая, что конструкция должна работать с запасом, необходимо, чтобы допускаемое напряжение составляло некоторую часть от опасного напряжения, т.е. [σ]=σо/n, где [σ] – допускаемое напряжение; σо – опасное напряжение, n –

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.

20

коэффициент запаса прочности.

Для пластичных материалов σо=σт , для хрупких σо= σв. Что касается коэффициента запаса прочности, то при его назначения необходимо учитывать очень многие факторы: прочность и безопасность проектируемой конструкции, ее экономичность; условия в которых будет работать конструкция; изученность материала, из которого сделана конструкция, и др. Поэтому коэффициенты запаса прочности обычно назначают государственные нормирующие органы.

СДВИГ

Сдвигом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только поперечная сила.

Если при данном нагружении рассмотреть в теле элементарный параллелепипед, то в нем под действием нагрузки длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями: первоначально прямые углы становятся равными 90°+γ и 90°-γ. Каждая из граней параллелепипеда при деформации чистого сдвига перемещается относительно грани на величину АА', называемую абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между противоположными гранями называется относительным сдвигом; при малых деформациях оно равно величине угла сдвига γ. Абсолютный сдвиг выражается в мерах длины, а относительный в радианах.

Закон ГУКА

Закон ГУКА для сдвига записывается следующей формулой

G или G

где G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода) физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость при сдвиге (Па).

Взаимосвязь между тремя постоянными

Существует взаимосвязь между тремя постоянными E,G,μ (т.е. между модулем упругости первого рода, модулем упругости второго рода и коэффициентом Пуассона)

Левданский А.Э. Сопротивление материалов. Тексты лекций 18 час.