23.Постановка задачи линейного программирования

Задачей линейного программирования (ЗЛП) в нормальной форме называется задача максимизации (минимизации) целевой функции

(1)

по переменным удовлетворяющим неравенствам, где постоянные числа. Записьозначает, что.В матричной форме задача имеет вид, (4),, ,. x называется вектором-переменной, − вектор ограничений,c − вектор стоимости, векторы условий,матрица условий, символозначает транспонирование.Наряду с нормальной формой задачи линейного программирования (4)−(6), широкое распространение получила каноническая форма, под которой понимается следующая задача,где все компоненты вектора x неотрицательны.Две формы ЗЛП отличаются лишь типом ограничений. В нормальной форме ограничения типа неравенств, в канонической − типа равенств. Ограничения типа неравенств можно свести введением неотрицательных свободных переменных к ограничениям типа равенств. В первое неравенство ограничений (2) добавим свободную переменную , второе −, последнее −. Коэффициенты, соответствующие свободным переменным, равны нулю.

Одним из основных аналитических методов решения ЗЛП является симплекс-метод[6-8]. Теория и алгоритм симплекс-метода строится только для канонической формы (7) − (9) ЗЛП.

Планом или допустимым решением ЗЛП называется вектор , удовлетворяющий системе ограничений (8)-(9). План задачи (7)−(9), для которого линейная форма достигает максимума, называется оптимальным. План называетсябазисным (опорным), если вектора условийсоответствующие

ненулевым компонентам, линейно независимы. Базисный план называется невырожденным, если он содержит ровно m положительных компонент.

Решение ЗЛП состоит из трех основных этапов: 1) построение первоначального невырожденного базисного плана; 2) проверка плана на оптимальность; 3) в случае неоптимальности плана указание процедуры перехода к новому плану.

2 этап. Критерий оптимальности базисного плана. Критерием оптимальности рассматриваемого решения (плана) является выполнение условия.Если это условие не выполняется для некоторого номераj и все элементы этого столбца неположительные, то целевая функция не ограничена на множестве допустимых планов. Если же существуют столбцы с, но в каждом из них имеются положительные элементытогда следует искать новый план, при котором значение функцииz было бы больше. Для этого переходим к новому базису. Чтобы определить, какой вектор следует ввести в базис, просматривают последнюю строку. Вектор, соответствующий минимальному отрицательному , вводится в базис (если имеется несколько таких одинаковых, то берется любой). Пуст, тогда векторнужно ввести в базис. Столбец, содержащий число, называетсяразрешающим столбцом симплексной таблицы. Чтобы определить, какой вектор нужно вывести из базиса, вычисляют минимальное отношение координат векторак положительным элементамразрешающего столбца, т. е. находятся симплексные отношениядляи помещают их в столбец, затем среди них выбирают наименьшее −. Пусть, тогда векторнужно исключить из базиса. В симплексной таблице строка, содержащая число, называетсяразрешающей, а элемент , стоящий на пересечении разрешающих столбца и строки, −разрешающим (ключевым) элементом.

Разрешающие строка и столбец в симплексной таблице (табл. 1) выделяются двойными линиями и отмечаются стрелками.

3 этап. Переход к новому базисному плану. После того, как определены разрешающие строка и столбец, строится новая симплексная таблица. В первом столбце записывается новый базис. Он отличается от старого одним вектором: вместо вектора в базис вводится вектор. Соответственно заменяется коэффициенткоэффициентомв столбце.

Новые координаты векторов находим по формулам:При построении новой симплекс-таблицы рекомендуются следующие правила: 1) элементы разрешающей строки, начиная со столбцаb, делятся на разрешающий элемент; 2) вместо элементов разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента, пишутся нули, а на месте разрешающего элемента − единица; 3) все остальные элементы , начиная со столбцаb, находятся по правилу “прямоугольника” (Рис.1). В первоначальной таблице строят прямоугольник с вершинами в разрешающем элементе, на разрешающей строке и на разрешающем столбце, т. е. Перемножаем элементы, не лежащие на одной диагонали с, делим результат наи полученное число вычитаем из. В результате получаем новое значение. Аналогично вычисляются и значения.Новую симплекс-таблицу можно также строить по правилу “сложения строк”. В этом случае рекомендуются следующие правила заполнения симплекс-таблицы: 1) элементы разрешающей строки, начиная со столбцаb, делятся на разрешающий элемент; 2) умножением элементов разрешающей строки на (i-й элемент разрешающего столбца, умноженный на минус единицу) и сложением с соответствующими элементами i-й строки получают i-ю строку новой симплекс-таблицы, при этом разрешающий столбец становится единичным (1 на месте разрешающего элемента, нули − на остальных местах). После заполнения новой симплекс-таблицы проверяем план на оптимальность. Если при решении задачи на максимум в новой таблице все оценки, то планявляется оптимальным; если же хотя бы одна из разностей, то нужно строить новую симплексную таблицу по тем же правилам. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен оптимальный план, т. е. пока не станут положительными все оценки,. Все отличные от нуля координаты векторанаходятся в столбце вектораb, номер (индекс) координаты совпадает с номером базисного вектора, стоящего в той же строке, что и сама координата.