КСТиАК - Конспект лекций / лк3
.docЛекция № 3
Основні логічні операції над двійковими числами
План лекции:
3.1.Логические функции переменных. Таблицы истинности.
3.2.Элементарные логические функции двух переменных
3.3Логические теоремы.
3.4. Формы представления логических функций. Методы минимизации уравнений.
Карты Карно.
3.1.Логические функции переменных. Таблицы истинности
Логические функции оперируют логическими переменными, т.е. переменными, принимающими только два значения - ИСТИНА и ЛОЖЬ (на математическом языке - 0 и 1). Результат логической функции может принимать тоже только эти два значения. Для представления логических функций используют аппарат логических уравнений и таблиц истинности.
Таблица истинности представляет собой таблицу в которой каждой комбинации входных логических переменных ставится в соответствие требуемое значение данной логической функции.
|
|
|
|
|
Y |
|
0 |
0 |
.. |
0 |
|
|
1 |
0 |
.. |
0 |
|
|
.. |
.. |
.. |
.. |
.. |
|
1 |
1 |
.. |
1 |
|
Логические функции могут быть одной, двух и более логических переменных.
Таблица полного набора логических функций для двух переменных
A 0 0 1 1 условное обозначение
B 0 1 0 1 алгебраическое выраж. название
F0 0 0 0 0 F0=0 постоянный 0
F1 0 0 0 1 F1=A.B конъюнкция (лог. И)
F2 0 0 1 0 F2 = A—B=AB запрет
F3 0 0 1 1 F3 = A тождественностьА
F4 0 1 0 0 F4= B—A=AB запрет
F5 0 1 0 1 F5= B тождественностьВ
F6 0 1 1 0 F6 =A +B = AB+AB исключающее или
F7 0 1 1 1 F7= A+B дизъюнкция (лог.ИЛИ)
F8 1 0 0 0 F8 = A| B = A+B стрелка Пирса (или-не)
F9 1 0 0 1 F9 =A B =AB+AB равнозначность
F10 1 0 1 0 F10 = B инверсия В
F11 1 0 1 1 F11 =B A = A + B импликация отВ к А
F12 1 1 0 0 F12 = A инверсия А
F13 1 1 0 1 F13 =A B =A + B импликация от А к В
F14 1 1 1 0 F14 =A/ В = AB штрих Шеффера (и – не)
F15 1 1 1 1 F15 = 1 постоянная 1
A,B—инверсия
3.2.Элементарные логические функции двух переменных
Элементарными логическими функциями являются следующие.
Функция “Логическое И”
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
Логическое уравнение:
.
Схематическое изображение функции
Функция “Логическое ИЛИ”
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
Логическое уравнение:
.
Схематическое изображение функции
Функция “Логическое НЕ”
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
0 |
Логическое уравнение:
.
Схематическое изображение функции
3.3Логические теоремы.
1,2,3,4,5,6 ,7–аксиомы( тождества)
8 ,9 - законы коммутативности
10 ,12 - зокон дистрибутивности
3.4. Формы представления логических функций. Методы минимизации уравнений.
Карты Карно.
Используя данные теоремы, любую логическую функцию можно реализовать посредством блоков “И” и “НЕ” или “ИЛИ” и “НЕ” (это доказал Шеффер в 1913г.).
Пример: Функция “ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ”.
Схематическое изображение функции
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
Обычно при постановке задачи логическую функцию представляют в виде таблицы истинности. Для получения уравнения логической функции и его минимизации используют метод “карт Карно”.
В соответствии с этим методом для получения уравнения логической функции необходимо:
1. Составить таблицу истинности функции в которой должны быть представлены все возможные сочетания входных сигналов и соответствующие им состояния выхода. В случае, когда состояние входа не оказывает влияния на выход, ставится X (любое значение).
2. Разбить все входные переменные на две группы произвольным образом.
3. Составить прямоугольную таблицу. Вдоль осей таблицы отложить последовательные состояния выделенных групп переменных в коде Грея.
4. Заполнить ячейки, расположенные на пересечении строк и столбцов таблицы значениями функции, соответствующими текущей комбинации состояний входных переменных.
5. Выделить в таблице все группы, содержащие 1 (либо 0).
6. Записать уравнение функции по выделенным группам.
Пример: Функция задана таблицей истинности.
|
A |
B |
C |
Q |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Составим карту Карно для данной функции.
|
|
AB |
|||
|
C |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Выделяем группы, содержащие “1”.
Согласно выделенным группам записываем уравнение логической функции.
Схематическое изображение функции:
.
Литература
Самофалов К.Г., Корнейчук В.И. Цифровые ЭВМ: Теория и проектирование/-К.: Выща шк.,1989.-стр.50-90
Вопросы для самоконтроля
1.Какие значения может принимать логическая пераменная?
2.Что такое «таблица истинности» логической функции?
3. Какое количество логических функций составляют полный набор для двух переменных?
4.Запишите таблицу истинности для логической функции «И».
5. Запишите таблицу истинности для логической функции «ИЛИ».
6.Запишите таблицу истинности для логической функции «НЕ».