Геометрия / Тема 3 / Тема 3

ТЕМА ІІІ. ПЛОЩИНА. СПОСОБИ ЗАВДАННЯ ПЛОЩИНИ. КЛАСИФІКАЦІЯ ПЛОЩИН.

ІІІ.1 Площина. Належність точки і прямої площині.

Площина – це поверхня, положення якої в просторі визначається трьома точками, що не лежать на одній прямій.

На комплексному кресленні площину можна завдати : а) трьома точками, що не належать прямій б) прямою і точкою в) двома пересічними прямими

г) двома паралельними прямими д) трикутником.

Приклади завдання площин на комплексному кресленні приведені на рис. 16. Площини позначаються буквами ( , , , , ).

а)

б)

в)

1

г)

д) Рис.16

Перехід від одного з наведених способів до другого виконується просто. Досить, наприклад, сполучити три точки прямими (Рис.16а) і ми отримаємо зображення площини трикутником (Рис.16д) або з’єднав дві точки (з трьох заданих) прямою і проведемо через третю точку пряму, паралельну першій, перейдемо від завдання площини трьома точками до завдання її двома паралельними прямими (Рис.16г) й тощо.

Розрізняють такі положення площини в просторі:

1)площина загального положення – не перпендикулярна до жодної з площин проекцій

2)проеціююча площина – перпендикулярна до однієї з площин проекцій

3)площина рівня – паралельна одній з площин проекцій.

Належність точки і прямої площині.

1.Пряма належить до площини, якщо вона має з площиною дві спільні точки або одну спільну точку і паралельна прямої, яка належить площині.

2.Точка належить площині, якщо вона належить прямій, яка належить площині. Розглянемо приклади на визначення проекцій точки та прямої, які належать площині.

Рис.17

На Рис.17 показана площина (а || b) і фронтальна проекція точки А, яка належить до площини (а || b). Необхідно визначити горизонтальну проекцію точки А.

План розв’язки приклада:

1). Через фронтальну проекцію точки А (А2) проводимо пряму 1-2 (12-22) і знаходимо її горизонтальну проекцію.

2). На цю проекцію прямої 1-2 (11-21) проеціюємо точку А (А1).

2

На Рис.18 показані способи знаходження проекції прямих, які належать площинам

(l1 ∩ n1), Q (n ∩ m).

План розв’язки прикладів:

Рис.18а: 1) На фронтальній проекції прямої m (m2) виділимо 2 точки 12 та 22.

2)Знайдемо горизонтальні проекції точок 11-21.

3)З’єднаємо 111 та 211, ми отримаємо горизонтальну проекцію прямої m.

Рис.18б: 1) Фронтальна проекція прямої p паралельна m2. p2 перетинає n2 у точці 1(12).

2)Знайдемо горизонтальну проекцію точки 1(11).

3)Через точку 1(11) проводимо лінію паралельну m(m1).

ІІІ.2 Площина загального положення.

Площиною загального положення називають площину похило розташовану до площини проекцій П1, П2, П3.

На Рис.17, приведено дві проекції площини загального положення яка завдана двома паралельними прямими а і b. На Рис.18 площини завдані двома пересічними прямими.

ІІІ.3 Проеціюючі площини.

Проеціюючі площини – проеціюються на одну з площин прямою (слід – проекція площини) розташованою похило до осі координат, а на дві інші площини проекцій – викривлено.

Проеціюючи площини можна задавати тільки їх слідом – проекцією. Ці площини складають з однією площиною проекцій кут рівний 90, а з двома іншими площинами проекцій суму кутів рівних 90 . На Рис.19 приведений приклад розташування проеціюючих площин на комплексному кресленні.

а)

б)

3

Рис.19

Рис.19а: (∆АВС) П1 – горизонтально-проеціююча площина= 90 – кут нахилу до площини П1– кут нахилу до площини П2

– кут нахилу до П3

+ = 90

Рис.19б: (a || b) П2 – фронтально-проеціююча площина.

= 90 , + = 90 .

Рис.19в: Q (∆АВС) П3 – профільно-проеціююча площина.

= 90 , + = 90 .

Горизонтально-проеціюючою площиною називають площину перпендикулярну до горизонтальної площини проекції П1 (Рис.19а). Внаслідок перпендикулярності площини (∆АВС) до площини П1 горизонтальні проекції всіх точок площини (∆АВС) будуть розташовані на горизонтальному сліді цієї площини. Назвемо цю властивість горизонтального сліду площини (∆АВС) – збиральним, а слід володіючий цією властивістю, слідом – проекцією площини.

Так як площина (∆АВС) і П2 перпендикулярні до однієї площини П1, то лінією їх перетину буде пряма, перпендикулярна до П1. Це означає, що фронтальний слід площини(∆АВС) перпендикулярний до всякої прямої на П1, яка перетинає його, а також, перпендикулярний до осі ОХ. Профільний слід цієї площини (∆АВС) також буде перпендикулярний до осі ОУ3. Внаслідок того, що площина проекцій П1 перпендикулярна до фронтального сліду площини (∆АВС) тобто до ребра двогранного кута між площинами (∆АВС) і П2, кут , утворений горизонтальним слідом-проекцієюА1В1С1 і прямою паралельною осі ОХ, являє собою дійсний кут нахилу площини (∆АВС) до площини проекцій П2 (Рис.19а).

В наслідок перпендикулярності площини П1 до профільного сліду кут між А1В1С1 і прямою, паралельною осі ОУ являє собою дійсний кут нахилу площини(∆АВС) до площини проекцій П3 (Рис.19а).

Фронтально-пороекціюючою площиною називають площину перпендикулярну до фронтальної площини проекцій. На Рис.19б зображена фронтально-проеціююча площина

(а || b).

Її фронтальний слід – проекція збігається з фронтальною проекцією прямих а2 і b2. Кутами і визначені дійсні розміри кутів нахилу площини (a || b) до площини проекцій П1 (кут ) і П3 (кут ).

Профільно-проеціюючою площиною називають площину перпендикулярну до профільної площини проекцій. На Рис.19в зображена профільно-проеціююча площина

Q (АВС).

Профільний слід – проекція площини Q (АВС) володіє збиральною властивістю, тобто профільна проекція любої точки, яка належить площині, збігається з профільним

4

слідом проекції (наприклад: профільна проекція А3 точки А). Інші два сліди профільнопроеціюючої площини перпендикулярні до осі ОУ та ОZ.

Кути і визначають дійсний розмір кута нахилу профільно-проеціюючої площини Q (АВС) до площини проекцій П1 (кут ) і П2 (кут ).

ІІІ.4 Площини рівня.

Площина рівня являє собою частковий випадок проеціюючих площини. Оскільки ця площина, будучи паралельною одній з площин проекцій одночасно перпендикулярна до двох інших площин, то її сліди на дві ці площини проекцій будуть паралельні, або перпендикулярні до осі координат і володіти збиральною властивістю.

Площини рівня – проеціюються на одну з площин проекцій в дійсний розмір, а на дві інших – прямою (слід площини).

Слід площини – лінія перетину якоїсь площини з площиною проекцій. Слід – проекція площини рівня розташована паралельно осі координат. На Рис.20а площина (∆АВС) || П1 – площина горизонтального рівня

А1В1С1 = |∆АВС| , А2В2С2 || ОХ

На Рис.20б площина (∆DEF) || П2 – площина фронтального рівня

∆D2E2F2 = |∆DEF| , D1E1F1 || ОХ

На Рис.20в площина Q (n || m) || П3 – площина профільного рівня.

а)

б)

в) Рис.20

5

Будь-яка площинна фігура паралельна горизонтальній площині проекції П1 проеціюється на П1 у натуральну величину. Наприклад, трикутник АВС (Рис.20а) на П1 проеціюється у натуральну величину, а фронтальна проекція його збігається зі слідомпроекцією площини (АВС).

Площина фронтального рівня (DEF) (Рис.20б) і площина профільного рівня Q (m || n) (Рис.20в) являють собою часткові випадки проеціюючих площин. Сліди-проекції площини ( DEF) – D1E1F1 і D3E3F3 паралельні осям ОХ і ОZ, а сліди-проекції площини Q (m || n) на комплексному кресленні збігаються в одну пряму, перпендикулярну до осі ОХ. Кожен з указаних слідів володіє збиральною властивістю.

Профільно-проеціююча площина, що поділяє кут ZOY навпіл має назву бісекторної площини. Проекцій П1 і П2 по осі ОХ, тому її горизонтальні і фронтальні слідипроекції збігаються з віссю ОХ, а профільний слід-проекція проходить через точку О.

ІІІ.5 Особливі лінії площини.

Горизонталь – пряма, яка належить площині і паралельна горизонтальній площині проекцій П1.

Рис.21

На фронтальну площину проекцій П2 горизонталь площини, як і люба горизонталь, розташована у просторі, проеціюється прямою, паралельною осі ОХ. На Рис.21 задані дві проекції трикутника АВС.

Для побудови проекцій горизонталі, яка належить площині трикутника АВС, через фронтальну проекцію вершини А проводимо фронтальну проекцію А212 горизонталі паралельно осі ОХ, а потім за допомогою лінії зв’язку (відміченою стрілкою) знаходимо 11. Сполучив А111 одержуємо горизонтальну проекцію горизонталі h1 площини трикутника АВС.

Якщо площина задана слідами, то побудову горизонталі починаємо з горизонтальної проекції на підставі того, що горизонтальна проекція горизонталі площини паралельна горизонтальному сліду площини.

Фронталь площини – пряма, яка належить площині і паралельна фронтальній площині проекцій (П2).

Побудову фронталі починаємо з горизонтальної проекції (f1 || OX).

На Рис.21 показана побудова фронталі f у площині трикутника АВС. Побудову фронталі починаємо з горизонтальної проекції. Через точку В1паралельно осі ОХ проводимо пряму f1, яка перетинає А1С1 у точці 21. Знаходимо 22 за допомогою лінії зв’язку. Сполучая В222 знаходимо фронтальну проекцію фронталі f2 площини трикутника АВС.

Лінія найбільшого нахилу площини – лінія, що належить даній площині й утворює з площиною проекції найбільший кут.

Лінія найбільшого скату площини – лінія площини, що утворює найбільший кут з горизонтальною площиною проекцій.

На Рис.22 зображена площина трикутника АВС і побудова ліній найбільшого нахилу його до площини проекцій П1 і П2. Побудову лінії найбільшого скату площини до П1 розпочинаємо з побудови горизонталі (h) площини. Так як лінія найбільшого нахилу

6

завжди перпендикулярна сліду площини, то проводимо у площині трикутника АВС пряму 2141 перпендикулярно h1 і знаходимо її фронтальну проекцію.

Для визначення кута нахилу площини трикутника до П1 знаходимо дійсний розмір відрізка 2141 за допомогою прямокутного трикутника. Кут між 2141 і 4140 і є кутом нахилу площини трикутника до площини П1.

Для визначення кута нахилу площини трикутника до площини П2 проводимо у площині трикутника фронталь (f1, f2), проводимо у площині лінію найбільшого нахилу до П2, яка перпендикулярна до f2 – лінія 1232. За допомогою прямокутного трикутника визначаємо дійсний розмір відрізка 1232.

Кут між 1232 і 1230 і буде кутом нахилу площини трикутника АВС до площини проекцій П2.

Рис.22

ЗАПИТАННЯ ДО ТЕМИ.

1.Як на комплексному кресленні можна завдати площину?

2.Яка площина має назву площини рівня?

3.Яка лінія має назву слід площини?

4.Які площини мають назву проеціюючі?

5.Як проеціюються на площини проекцій площини загального положення?

6.Коли пряма належить площині?

7.Назвіть особливі лінії у площині?

8.З якої проекції починаємо побудову горизонталі і фронталі площини?

9.Яка лінія площини має назву лінії найбільшого нахилу?

7

ЛІТЕРАТУРА

Базова

1.Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М. «Наука»,

1988.

2.Нарисна геометрія. Фольта О.В., Антонович Е.А., Юрковський Б.В. Л. “Світ”, 1994.

3.Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Наука, 1985. – 296 с.

4.Виноградов В.Н. Начертательная геометрия: Учебник. – 2-е изд., пере раб. – М.: Просвещение, 1989. – 239 с.

5.Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1987. – 400 с.

6.Нарисна геометрія: Підручник / В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстіфєєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко; За ред. В.Є. Михайленко. – 2-ге вид., переробл. – К.: Вища школа., 2004. – 303 с.: іл.

Допоміжна

1.Ванін В.В.та ін. Оформлення графічної документації: Навчальний посібник.-К.: Каравела,-2003.-160 с.

2.Посвянский. Краткий курс начертательной геометрии. – М.: Наука, -1979.

3.Посвянский. Сборник задач по начертательной геометрии. – М.: Высшая школа, 1978.- 320 с.

4.Система конструкторської документації. Терміни та визначення основних понять. ДСТУ 3321-96. Держстандарт України. – К. 1996. – 80 с.

5.ЕСКД. Основные положения. М.: Изд-ство стандартов,1984. – 344 с.

6.ЕСКД. Общие правила выполнения чертежей. ГОСТ 2.301-68…2.320-82.

7.Збірник задач з інженерної та комп’ютерної графіки: Навч. посіб. / В.Є. Михайленко, В.М. Найдиш, А.М. Підкоритов, І.А. Скидан; За ред. В.Є. Михайленко. – К.: Вища шк., 2002. – 159 с.: іл.

Інформаційні ресурси

1.Начертательная геометрия. Электронный учебник. Св-во № 2001611308, РОСПАТЕНТ, Москва, 1.10.01 г. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://degispstu.narod.ru/

2.Мультимедийные лекции по начертательной геомтерии / И.Д. Столбова, Е.С. Дударь [Електронний ресурс]. Режим доступу:http://nachertalka.siteeditworld.ru/files

3.Библиотека технической литературы. ГОСТы. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://tehlib.com.ua/Gost_1_30.htm

4.Учебник «Начертательная геометрия» / В.А. Лалетин, Е.П. Александрова и др. [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://nachertalka.siteeditworld.ru/files

9