Фрактал

Множество Мандельброда — классический образец фрактала

Фрактал (лат fractus — дробленый, сломанный, разбитый) — термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Фрактальная форма подвида цветной капусты

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности

Термин

Слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• Обладает нетривиальной структурой на всех шкалах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.

• Является самоподобной или приближённо самоподобной.

• Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

• Может быть построена при помощи рекурсивной процедуры.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Классификация

• Алгебраические фракталы

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта

В математике мно́жество Мандельброда — это фрактал, определённый как множество точек на комплексной плоскости0, для которых итеративная последовательность

не уходит на бесконечность.

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа

• Геометрические фракталы

Кривая Коха

Кривая Коха

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Кохом. Кривая Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха. Кривая Коха задается такой системой итерационных функций f1(z)=(1/3)*z; f2(z)=(1/3)*z+(2/3); f3(z)=(1/3)*z*(cos(pi/3)+i*sin(pi/3))+(1/3);

Дерево Пифагора

Де́рево Пифаго́ра — разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как ПИФАГОРОВЫ ШТАНЫ.

Сверху - классическое дерево Пифагора, снизу - обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых

Построение кривой Коха

Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.

Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений

Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых, описанная выше, является частным случаем данной конструкции. В ней все отображения — отображения подобия, а n — число звеньев генератора.

Фракталы в комплексной динамике

Множество Жюлиа́

Фракталы естественным образом возникают при изучении нелинейных инамических систем. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена Пусть F(z) — многочлен, z₀ —комплексное число и рассмотрим следующую последовательность:

.

Нас интересует поведение этой последовательности при . Эта последовательность может:

• Стремиться к бесконечности;

• Стремиться к конечному пределу;

• Демонстрировать в пределе циклическое поведение, то есть поведение вида

• Демонстрировать более сложное поведение.

Популярно создание красивых графических образов на основе комплексной динамики путём раскрашивания точек плоскости в зависимости от поведения соответствующих динамических систем. Например, для дополнения множества Мандельброта можно раскрасить точки в зависимости от скорости стремления z_n к бесконечности (определяемой, скажем, как наименьший номер n, при котором | z_n | превысит фиксированную большую величину A).

Стохастические фракталы

Рандомизированный фрактал на основе множества Жюлиа

Природные объекты часто имеют фрактальную форму. Для их моделирования могут применяться стохастические (случайные) фракталы

Последнее время фракталы стали популярным инструментом у трейдеров для анализа состояния биржевых рынков рынков.

Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Литература

Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

• неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)

• неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).

В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна:

• венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)

• «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я. Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагосе»)

• предисловия, скрывающие авторство (У. Эко «Имя розы»)

• Т. Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королём).

В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому:

• Х. Л. Борхес «В кругу развалин»

• Х. Кортасар «Жёлтый цветок»

• Ж. Перек «Кунсткамера»

Сжатие изображений

Фрактальное дерево

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающие, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерная графика

Ещё одно фрактальное дерево

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее.

Децентрализованные сети

Система назначения IP-адресов в сети использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.

Литература

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

• Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.

• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.

• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.

• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.