Практические работы / Практическая работа 4

Практическая работа №4.

Тема: определение надёжности систем при схеме последовательного и параллельного соединения элементов.

Цель: произвести расчёт показателей надёжности систем по статистическим данным, полученных при их испытании при последовательном и параллельном соединении элементов системы.

Теоретические сведения

Системы с последовательным соединением элементов

Системой с последовательным соединением элементов (рис.4.1) называется система, в которой отказ любого элемента приводит к отказу всей системы, как показано на рисунке.

Такое соединение элементов в технике встречается наиболее часто, поэтому его называют основным соединением.

Рис. 4.1: Система с последовательным соединением элементов

В системе с последовательным соединением для безотказной работы в течении некоторой наработки необходимо и достаточно, чтобы каждый из ее элементов работал безотказно в течении этой наработки. Считая отказы элементов независимыми, вероятность одновременной безотказной работы элементов определяется по теореме умножения вероятностей: вероятность совместного появления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

(4.1) (4.1).

Вероятность работоспособности каждого элемента можно найти по формулам:

(4.2),

(4.3),

где — вероятность безотказной работы i-го элемента;

— вероятность отказа работы i-го элемента.

Тогда вероятность работоспособности всей системы можно записать так:

(4.4)

или это равно

(4.5),

при (4.6),

где — интенсивность отказов i-го элемента системы;

— интенсивность отказа всей системы.

Соответственно, вероятность отказа системы с последовательным соединением будет иметь вид:

(4.7)

Если система состоит из равнонадёжных элементов (), то вероятность работоспособности системы можно будет найти по формуле 4.8:

(4.8)

а отказ системы — по формуле 4.9:

(4.9)

Системы с параллельным соединением элементов

Системой с параллельным соединением элементов, изображенная на рис.4.2, называется система, отказ которой происходит только в случае отказа всех ее элементов.

Рис. 4.2: Система с параллельным соединением элементов

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки t необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки.

Отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность чего (при допущении независимости отказов) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов:

(4.10)

Соответственно, вероятность безотказной работы всей системы рассчитывается по формуле:

(4.11)

При условии, что , то вероятность безотказной работы равна

(4.12)

Для систем из равнонадежных элементов ()

(4.13)

т.е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов.

Постановка задачи.

Зная интенсивность отказов звеньев и время работы необходимо найти вероятность безотказной работы, вероятность отказа элементов системы и системы в целом. Входные данные и результаты вычислений привести в таблицу.

Таблица 4.1.

№ элемента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1.25	1.35	1.4	1.15	1.5	1.2	1.6	1.25	0.85	1.75
Элемент группа

Варианты к выполнению задания.

Интенсивности отказов звеньев 1/час.

, , , , ,

, , , ,

№ варианта	№ схемы	Время работы, часов
1	1	5000
2	2	6000
3	3	7000
4	4	8000
5	5	9000
6	6	10000
7	7	5000
8	8	6000
9	9	7000
10	10	8000
11	1	9000
12	2	10000
13	3	5000
14	4	6000
15	5	7000
16	6	8000
17	7	9000
18	8	10000
19	9	5000
20	10	6000
21	1	7000
22	2	8000
23	3	9000
24	4	10000
25	5	5000
26	6	6000
27	7	7000
28	8	8000
29	9	9000
30	10	10000

Пример выполнения задания.

Дано:

схема, изображенная на рисунке 4.3, время работы равно 4000 часов. Интенсивности отказов элементов системы даны в таблице 4.1. В системе используется 10 элементов.

Рис.4.3: структурная схема надежности

Решение:

1. система имеет элементы соединенные последовательно и параллельно. Представим систему в виде последовательно соединенных элементов. Для этого элементы соединенные параллельно возьмем в отдельные элемент-группы (рис.4.4):

Рис.4.4: структурная схема надежности с элемент-группами

2. Зная , , , , , , , , , по формуле (4.2) найдем вероятность работоспособности каждого элемента системы: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

3. Внесем полученные данные в таблицу результатов.

4. Выразив вероятность отказов каждого элемента из формулы (4.3), найдем отказы для каждого элемента системы. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

5. Внесем полученные данные в таблицу результатов.

6. В исходной схеме элементы 1, 2 и 3 образуют параллельное соединение, заменим их квазиэлементом A. По формуле (4.11) найдем вероятность работоспособности квазиэлемента A:

7. Внесем полученные данные в таблицу результатов.

8. Элементы 6, 7, 8 и 9 образуют параллельное соединение, заменим их квазиэлементом B, и по формуле (4.11) найдем вероятность работоспособности квазиэлемента B:

   № элемента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
   	1.25	1.35	1.4	1.15	1.5	1.2	1.6	1.25	0.85	1.75
   	0.606531	0.582748	0.571209	0.631284	0.548812	0.618783	0.527292	0.606531	0.711770	0.496585
   	0.393469	0.417252	0.428791	0.368716	0.451188	0.381217	0.472708	0.393469	0.288230	0.503415
   Элемент группа	A	A	A	—	—	B	B	B	B	—
   	0.156665
   	0.843335

9. Так как наша система состоит теперь из последовательно соедененных элементов, то вероятность работоспособности всей системы можно рассчитать по формуле (4.1):

10. Внесем полученные данные в таблицу результатов.

11. Находим вероятность отказа системы: .

12. Внесем полученные данные в таблицу результатов.

Содержание отчета

1. Содержание отчета должно быть оформлено в тетради.

2. Тема и цель работы.

1. Задание и данные, представленные в табличном виде.

2. Расчет показателей надежности, оформленный в тетради, с ручными .вычислениями.

3. Расчет показателей надежности, оформленный в тетради, с вычислениями на компьютере.

4