9.1. Транспортная задача

В транспортной задаче есть m поставщиков товаров и n потребителей. Поставщик i производит единиц продукции, клиентj потребляет единиц продукции, и есть баланс между спросом и предложением: . Стоимость транспортировки единицы товара от поставщика i к потребителю j равна . Транспортная задача заключается в том, чтобы подобрать такую схему поставок от производителей к потребителям, чтобы минимизировать транспортные расходы. Мы легко можем сформулировать транспортную задачу как задачу потока минимальной стоимости:

минимизировать при условии:

для всех i, j.

Это частный случай задачи потока минимальной стоимости с и. При этом граф задачи представляет собой двудольный граф. Его узлы делятся на два непересекающиеся множества S (поставщиков) и С (потребителей), а множество дуг содержит только те дуги, которые соединяют производителей и потребителей: A ⊂ S × C (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Двудольный граф

Лемма 9.1. Каждая задача потока минимальной стоимости эквивалентна транспортной задаче.

Доказательство. Рассмотрим задачу потока минимальной стоимости с ,, и исходными даннымиG = (N, A), и. Для каждой дуги (i, j) ∈ A построим узел-источник с поставками продукции (рис. 9.2). Для каждого узла i ∈ N построим узел-приемник с потреблением . Теперь подключим каждый узел-источник (i, j) к каждому узлу-приемнику i и j с бесконечными верхними границами поставок. Пусть и.

Рис. 9.2. Фрагмент двудольного графа

Существует взаимно однозначное соответствие (также называемое «1-1 соответствие») между допустимыми потоками в двух задачах и эти потоки имеют те же стоимости. Чтобы убедиться в этом, установим поток на дуге отi, j до j, и поток на дуге отi, j до i. Общее количество потоков, впадающих в узел i, составляет , и оно должно быть равно. Таким образом, мы имеем ограничения, как в задаче потока минимальной стоимости.

По этой причине новые алгоритмы часто впервые опробуются на транспортных задачах. Случай, когда существуют дуги от каждого поставщика к каждому потребителю, известен как транспортная задача Хичкока.

9.2. Табличная форма

Транспортную задачу удобно решать, используя специальные таблицы (рис. 9.3), в которых строки соответствуют поставщикам, а столбцы – потребителям продукции. Эти таблицы отличаются от симплекс-таблиц.

Для решения задачи можно использовать метод остовного дерева. Рассмотрим пример транспортной задачи, в которой имеется четыре поставщика и три потребителя. Поставщики выпускают 7, 11, 18 и 12 единиц продукции (всего 48), а потребители потребляют 10, 22, 16 единиц продукции (всего 48). На первом этапе решения задачи необходимо построить первоначальный опорный план. Обычно такой план составляется последовательным заполнением по одной клетке в таблице так, что каждый раз либо полностью удовлетворяется потребность одного из потребителей, либо полностью вывозится груз от некоторого поставщика.

Рис. 9.3. Табличный метод решения транспортной задачи (начало)

Множители Лагранжа вычисляются, исходя из уравнения, которое выполняется для случая. На первой интерации мы увеличиваем (насколько это возможно) поток в пустой ячейке, где(т.е.). Мы делаем это путем сложения и вычитания величины θ в некотором контуре ячеек, в которых .

Рис. 9.4. Табличный метод решения транспортной задачи (конец)

Окончательная таблица содержат оптимальное решение, потому что мы имеем везде, где, ив остальных случаях.