7.1. Алгоритм Хачияна

Начальные данные:

• А и b определяют многогранник P = .

• Сфера объемом не болееV, такая, что P ⊂ .

• Число v, такое, что либо Р пуст, либо Vol(P) > v.

Окончательный результат: Допустимая точка , еслиP не пуст, или утверждение о том, что P пуст.

Начальный шаг. Пусть

.

Главные итерации.

(i) Если ,останавливаемся; Р – пустой.

(ii) Если , останавливаемся.Р – непустой.

(iii) Если находим нарушенное ограничение,i , такое что .

(iv) Пусть .

Строим эллипсоид , содержащий с

(v) , возвращаемся к (i).

7.2. Обоснование метода эллипсоида

Чтобы доказать, что алгоритм работает за полиномиальное время, мы вначале покажем следующее.

1. , как определено в (iv), действительно содержит .

Предположим, что и . Пусть , тогда

Теперь можно проверить что, если .

2. 

Предположим, что и, как в(а), а , где

Тогда для некоторого аффинного отображения G(x) = t + Sx,

здесь мы использовали (дважды) неравенство: .

3. Существует переменная V такая, что если P не пуст, то он лежит целиком внутри шара объема V. Начнем с леммы.

Лемма 7.1. Пусть А есть матрица () целых чисел и пустьb есть вектор в . ПустьU будет наибольшим абсолютным значением среди элементов А и b. Тогда каждая экстремальная точка многогранника удовлетворяет неравенствам:

.

Доказательство. Любая экстремальная точка P имеет вид , гдеявляетсяобратной подматрицейА и соответствующийn-мерный подвектор b. Согласно правилу Крамера мы можем написать:

,

где – та же самая матрица, что и, за исключением того, что в нейj-ый столбец заменен на b. Теперь

,

где σ является одной из перестановок чисел 1, …, n, с |σ|, задающим число инверсий (т.е., i < j и σ(i) > σ( j)).

Наконец, так как – обратима, и все элементы в матрицеА являются целыми числами, то |. Таким образом, экстремальная точка х удовлетворяет условию для всех j. Следовательно, если х является экстремальной точкой, то , и она лежит во множестве точек

.

Р является непустым многогранником тогда и только тогда, когда он содержит экстремальную точку, так что мы можем тестировать на пустоту вместоР. Теперь содержится в шаре радиусом, и этот шар лежит внутри куба объемом.

4. Существует переменная , такая, что либо: Р – пустой, либо .

Мы говорим, что Р – полноразмерный, если он имеет положительный объем. Например, многогранник имеет Vol(P)=0 и поэтому не является полноразмерным.

Лемма 7.2. Пусть и предположим, что А и b имеют целые элементы, которые ограничены по абсолютной величине значением U. Пусть

,

где Тогда

а) Если Р – пустой, то и – пустой.

б) Если Р не является пустым, то – полноразмерный.

Доказательство а). Если Р – пустой, то линейная программа: минимизировать является недопустимой и соответствующая ей двойственная задача:максимизировать имеет оптимальное значение. Поэтому существует с

.

Используя лемму 7.1, мы можем найти БДР при ограничениях , , , такое что

, для всех i.

Так как является БДР, то, по меньшей мере,n + 1 его компонент не равны нулю, так что

.

Таким образом

.

Итак, при замене b на оптимальное значение двойственной задачи остается и прямая задача снова не является допустимой, и также пустой.

Доказательство б). Пусть х будет элементом Р, так что . Пустьу будет таким, что

, для всех j

Легко показать, что у принадлежит и множество всех таких векторову (образующее куб) имеет положительный объем и поэтому оно полноразмерное.

Лемма 7.3. Пусть является полноразмерным ограниченным многогранником, причем, элементы матрицы А и вектора b являются целыми и имеют абсолютные значения, ограниченных U. Тогда

.

5. Время работы является полиномиальным поn.

Мы имеем следующие формулы:

и ,

и знаем, что метод эллипсоида требует не более чем шагов. Это дает: .

Лекция 8. СЕТЕВЫЕ ЗАДАЧИ