6.3. Задача эквивалентной допустимости
Рассмотрим прямую и двойственную задачи:
Согласно сильной двойственности линейного программирования, каждая задача имеет оптимальное решение тогда и только тогда, когда существует допустимое решение, удовлетворяющее следующим условиям:
Таким образом, мы можем решить задачу ЛП, если докажем, что она удовлетворяет условиям допустимости этого решения. Поэтому обратимся к следующей задаче распознавания:
«Является
ли многогранник
непустым?»
Алгоритм, который мы будем использовать для ее решения, известен как метод эллипсоида. Этот полиномиальный алгоритм создал в 1979 году советский математик Леонид Генрихович Хачиян (1952-2005). Несмотря на то, что алгоритм оказался непригодным для практических вычислений из-за высокой степени многочлена, оценивающего время его работы, результат Хачияна имеет большое теоретическое значение. Кроме того, этот результат дал толчок к интенсивному поиску новых практических алгоритмов для решения задач линейного программирования. В 1982 году Хачияну была присуждена Премия Фалкерсона за выдающиеся работы в области дискретной математики.
Среди
практических алгоритмов, способных
решить задачу ЛП за полиномиальное
время, следует выделить алгоритм
Кармаркара. Он назван в честь американского
математика индийского происхождения
Нарендры Кармаркара (род. 1957), предложившего
его в 1984 году. Если n
– число переменных в исходных данных,
то алгоритм Кармаркара требует
операций (для сравнения – метод эллипсоида
требует
операций).
Кармаркар создал свой алгоритм во время работы в фирме AT&T. Эта фирма запатентовала данный алгоритм в апреле 1985 года. В апреле 2006 года срок патента истек и теперь алгоритм доступен для общего пользования.
6.4. Начальные сведения о методе эллипсоида
Определения 6.1.
Пусть D – это положительно определенная симметричная матрица размером
.
Множество точек
называется
эллипсоидом
с центром в точке
.
Пусть D является невырожденной матрицей размера
и
.Отображение
,
определенное как
S(x)
= Dx + t
называется
аффинным
преобразованием.Объем множества
,обозначаемый
как
Vol(L),
определим
так
.
Воспользуемся тем, что если S имеет вид аффинного преобразования S(x) = Dx+t, то
.
Пример
6.1.
В двумерном случае:
;
и
.
Тогда
Таким образом, мы получили уравнение эллипса. Аффинное преобразование в двумерном случае:
.
6.5. Описание метода эллипсоида на интуитивном уровне
Генерируем
последовательность эллипсоидов
.
имеет центр
,
такой, что
Если
,
тогдаP
не является пустым и метод останавливается.Если
,
тогда ограничения нарушаются, имеем:
,
где
– некоторая строка матрицыA,
а
соответствующая компонента вектораb.
Таким
образом, P
содержится в полупространстве
.
Назовем пересечение этого полупространства
с
полуэллипсоидом.
Построим эллипсоид
таким образом, чтобы он покрывал эту
половину эллипсоида и имел объем только
части
.
Будем повторять этот процесс до тех
пор, пока не найдем точку P
(в противном случае заключаем, что объем
Р
очень мал и, следовательно, может
полагаться пустым).
Рис. 6.4. Процесс построения эллипсоидов
Теорема
6.1. Пусть
–эллипсоид
в
,
и a
– ненулевой n-
вектор.
Рассмотрим полупространство
и пусть
Тогда
матрица
симметрична и положительно определена,
и, следовательно,
является эллипсоидом. Кроме того,
Лекция 7. МЕТОД ЭЛЛИПСОИДА