10

Тема 4. Статистичні показники: середні величини

План

4.1. Ступеневі середні

4.2. Структурні середні

Питання для самоконтролю

Література

4.1. Ступеневі середні

Середні величини грають велику роль в статистиці. Середні величини є найбільш поширеною формою звідних величин. Вони дають загальну кількісну характеристику елементів масового процесу. Середні величини є як би «представниками» всього ряду спостережень, оскільки довкола них концентруються спостережувані значення ознаки. По суті, середня величина характеризує однорідну сукупність одним числом. Наприклад: середній вік студентів у групі.

Середня володіє тією хорошою властивістю, що в ній погашаються відхилення окремих величин від основного типу.

Середня величина – узагальнююча характеристика ознаки, що вивчається, в досліджуваній сукупності. Вона відображає його типовий рівень з розрахунку на одиницю сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Умовами вживання середніх величин є: наявність якісна однорідній сукупності і чималий її об'єм.

Приклад. Робочі бригади мають наступну місячну заробітну плату (табл. 4.1):

Таблиця 4.1

Заробітна плата робітників

Робітник	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Всього: 10
Зарплата, грн.	493	561	609	718	1070	850	1203	894	901	1251	Всього: 8550

Потрібно визначити середню місячну зарплату робітників бригади:

Середня зарплата робітника складає 855 грн.

Існують дві категорії середніх величин: ступеневі середні (до них відноситься середня арифметична, середня геометрична і ін.), а також структурні середні (мода і медіана). Вибір того або іншого вигляду середньою виробляється залежно від мети досліджень, економічної суті усереднюваного показника і характеру наявних вихідних даних.

Загальна формула степеневої середньої має вигляд:

(4.1)

де – середня статистичної ознаки, а межа – знак, який символізує

процес осереднення індивідуальних значень;

х – величина, для якої обчислюється середня, – осереднювана ознака;

m – показник степені середньої;

n- кількість спостережень (об'єм сукупності).

Підставляючи різні значення т, отримують різні форми середніх величин.

Середня арифметична (при т = 1) використовується для усереднювання прямих значень ознак шляхом їх підсумовування. Її логічна формула має вигляд:

(4.2)

Якщо дані не згруповані, застосовується середня арифметична проста:

, (4.3)

де х – окремі значення ознаки;

п– об'єм сукупності.

За формулою середньої арифметичної простої обчислюються також середні в хронологічному ряду, якщо інтервали часу, за який приводяться значення ознак, рівні.

Якщо в хронологічному ряду приведені моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються напівсумами значень на початок і кінець періоду. Якщо моментів більше двох і інтервали між ними рівні, то середня обчислюється за формулою середньої хронологічної простої.

, (4.4)

де п – число моментів часу.

Якщо дані згруповані, то використовують середню арифметичну зважену:

або , (4.5)

де f_i – частота, d_i – частість i-й групи.

При цьому а

Усереднюванню підлягають не лише окремі значення варіант, але і їх групові середні , тоді вагою буде частота (частість) кожної групи:

(4.6)

Обчислена в такий спосіб середня з групових середніх називається загальною.

Вагою може бути також абсолютна величина, логічно пов'язана з усереднюваним показником. Вибір вагів ґрунтується на логічній формулі показника. Оскільки середня величина обчислюється з розрахунку на одиницю сукупності, то вага завжди буде знаходитися в знаменнику логічної формули. Наприклад, при визначенні середньої суми витрат на одне рекламне оголошення вагою буде кількість рекламних оголошень. При обчисленні середньої суми витрат на одного рекламодавця вагою буде кількість рекламодавців.

Середня арифметична має певні математичні властивості, що розкривають її суть. Так, сума відхилень окремих варіант від середньої дорівнює нулю, а сума квадратів таких відхилень наближається до мінімуму. Ці дві властивості лежать в основі вивчення варіації ознак.

Якщо окремі значення варіант збільшити (зменшити) на одну і ту ж величину А або в k раз, то середня зміниться відповідно.

Наприклад, якщо грошові вклади громадян в ощадбанк скоректувати на рівень інфляції, що становить 1,2, то середній розмір вкладу збільшиться відповідно в 1,2 рази.

Середня не зміниться при пропорційній зміні всіх вагів, але її розмір зміниться, якщо стануться структурні зрушення.

Наприклад, при незмінній курсовій вартості акцій окремих емітентів середня вартість акцій може збільшитися за рахунок збільшення долі "дорогих" акцій в загальній кількості їх продажу.

Вказані властивості середньою використовують в разі усереднювання ознак порядкової (ранговою) шкали. Для 3-х бальної шкали варіанти ознаки можна цифрувати порядковими рангами R = 1, 2, 3 або центрованими R₀ = - 1, 0, 1.

Середній центрований бал відхиляється від середнього порядковогона величину:

(4.7)

Аналітичні можливості середнього центрованого балу ширші, ніж середнього порядкового, оскільки може набувати позитивних або негативних значень і свідчить про позитивну або негативну оцінку явища. Крім того, оскільки середній центрований бал не залежить від розмірності шкали, його використовують для порівняння оцінок різних явищ.

Приклад. У таблиці 4.2 приведені дані про відношення населення до приватизації землі. Визначимо рівень підтримки приватизації землі населенням.

Табл. 4.2

Відношення населення до приватизації землі

Відношення до приватизації	Доля відповідей, %	Ранги
		Rj	R0
Повністю підтримую	32	3	1
Частково підтримую	47	2	0
Не підтримую	21	1	-1
Разом	100	–	–

Отже, рівень підтримки приватизації землі позитивний, але поки невисокий.

Середня гармонійна (т = – 1) використовується для усереднювання індивідуальних значень ознак із зворотних величин шляхом їх підсумовування. Для незгрупованих даних використовується середня гармонійна проста

(4.8)

Якщо дані згруповані, то використовують середню гармонійну зважену

, (4.9)

де w_i – об'єм значень ознаки, тобто

Приклад. Визначити середню ціну одиниці продукції, якщо відомі (таблиця. 5.3) наступні дані:

Таблиця 4.3

Дані про вартість продукції

Продукція	Ціна, грн., хi	Сума реалізації, тис., грн., wi	Частота випадків, fi = wi / xi
А	30	600	20
Б	20	1000	50
В	35	350	10
ИТОГО:		1950	80

Середня ціна одиниці продукції дорівнює сумі реалізації діленою на кількість реалізованих одиниць. Сума реалізації (чисельник) – відома, а кількість реалізованої продукції (знаменник) – невідома. У такому разі, середню ціну одиниці продукції визначають по формулі середньої гармонійної:

.

Якби для розрахунку ми використовували середню арифметичну просту, то отримали б невірний результат:

.

Очевидно, що середню гармонійну зважену доцільно використовувати в тих випадках, коли відсутня інформація про значення знаменника логічної формули, тобто відсутні ваги (коли статистична інформація не містить конкретних частот по окремих варіантах сукупності, а представлена лише як їх добуток).

Розраховувати середню гармонійну зважену можна і у тому випадку, коли окремі значення варіантів не вказані, а відомі лише підсумки (сумарні значення чисельника і знаменника) логічної формули.

Середня геометрична (т = 0) визначається як добуток відносних величин динаміки x_ij , розрахованих як відношення i-го значення показника до попереднього (i – 1).

Формула середньої геометричної простої

(4.10)

де - символ добутку;

–число осереднюваних величин.

Середня квадратична (т = 2) використовується для характеристики варіації і розглядатиметься в наступній лекції (тема 6).

Питання про те, який вигляд середньої необхідно застосувати, вирішується у кожному конкретному випадку шляхом аналізу сукупності, що вивчається, визначається матеріальним вмістом явища, що вивчається, а також виходячи з осмислення результатів досліджень. У статистиці правильну характеристику сукупності можна отримати при використанні лише певного вигляду середньої, встановити яку допомагає аналіз. Для правильного вибору вигляду середньої величини необхідно скласти логічну схему.

Приклад. Є цех, в якому працює 100 чоловік. Необхідно визначити середню зарплату одного робітника. Середню зарплату визначимо по логічній формулі:

Випадки використання різних середніх величин.

1. Середня арифметична проста використовується в тому випадку, якщо чисельник і знаменник досліджуваної системи приведений у вихідних даних.

2. Середня арифметична зважена використовується в тому випадку, якщо знаменник досліджуваної системи (логічної схеми) відомий, а чисельник – ні.

3. Середня гармонійна використовується в тому випадку, якщо чисельник досліджуваної схеми приведений у вихідних даних, а знаменник – ні.

4. Середня квадратична використовується тільки при визначенні показників варіації.

5. Середня геометрична використовується тільки при розрахунку середньорічного темпу зростання.

6. Структурні середні використовуються, переважно при визначенні попиту і пропозиції.

Слід врахувати, що різні види середніх величин на одному і тому ж вихідному матеріалі мають неоднакові значення.

Приклад. Бригада з п'яти чоловік випускає деталі. При цьому кожен робітник випускає в наступній кількості (табл. 4.4):

Таблиця 4.4

Випуск деталей робітниками

Робітник	Випуск деталей (хi)
1	10
2	8
3	11
4	14
5	7
ВСЬОГО: 5	50

Визначимо середній випуск деталей одним робітником, використовуючи різні види середніх.

середньоарифметична

середньоквадратична

середньогармонічна

середньогеометрична

У загальному вигляді співвідношення між середніми має вигляд: