1.4. Вторая процедура мнк: подбор лучшей функциональной модели.
Вторая процедура МНК: Определяется, какая линия (траектория) способна лучше всего описать или охарактеризовать тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемый период.
При наличии компьютерной техники подбор оптимального тренда происходит автоматически. При «ручной» обработке выбор оптимальной функции осуществляется, как правило, визуальным способом - по расположению корреляционного поля. То есть, по виду графика подбирается уравнение линии, которая лучше всего подходит к эмпирическому тренду (к фактической траектории).
Как известно, в природе существует огромное разнообразие функциональных зависимостей, поэтому визуальным способом проанализировать даже незначительную их часть - крайне затруднительно. К счастью, в реальной экономической практике большинство взаимосвязей достаточно точно могут быть описаны или параболой, или гиперболой, или же прямой линией. В связи с этим, при «ручном» варианте подбора лучшей функции, можно ограничиться только этими тремя моделями.
прямая
выглядит таким образом:
гипербола
имеет
следующий вид:
парабола второго порядка
выглядит
так:
Нетрудно заметить, что в нашем примере лучше всего тенденцию изменения урожайности подсолнечника за анализируемые 10 лет характеризует прямая линия, поэтому уравнением регрессии будет уравнение прямой -
.
1.5. Третья процедура мнк: определение параметров уравнения регрессии.
Третья процедура МНК. Рассчитываются параметры регрессионного уравнения, характеризующего данную линию, или другими словами, определяется аналитическая формула, описывающая лучшую модель тренда.
Нахождение значений
параметров уравнения регрессии, в нашем
случае параметров
и
,
является сердцевиной МНК. Данный процесс
сводится к решению системы нормальных
уравнений. В свою очередь, любая система
нормальных уравнений для всех видов
зависимостей строится по следующей
схеме:
Во-первых,
определяются коэффициенты при неизвестных
параметрах в обнаруженном уравнении
прямой линии
.
Коэффициент при параметре
равен1,
а при параметре
равен
.
Во-вторых,
уравнение прямой поочередно, сначала
умножается на коэффициент при параметре
,
а затем на коэффициент при параметре
.
Таким образом, получается два уравнения:
первое -
и
второе -
.
В-третьих,
в первое уравнение из таблицы исходных
данных попарно, в соответствие с номером
наблюдения, подставляются абсолютно
все значения
и
.
Получается 10-ть уравнений типа:
;
;
и так далее до десятого -
.
После чего, все эти уравнения складываются,
и получается одно суммарное нормальное
уравнение:
Затем, во второе
уравнение из таблицы исходных данных
точно также, в соответствие с номером
наблюдения, подставляются абсолютно
все значения
и
.
Получается опять таки 10-ть уравнений:
;
;
и так далее до десятого -
.
После чего, все эти уравнения складываются,
и получается еще одно нормальное
уравнение:
В-четвертых, создается система, состоящая из двух нормальных уравнений:
,
которая
довольно легко решается методом Гаусса.
Напомним, что в результате решения, в
нашем примере, находятся значения
параметров
и
.
Таким образом, найденное уравнение регрессии будет иметь следующий вид:
На этом процедуры МНК закончены.