Тема 1. Диференціальні рівняння: основні поняття і означення

Розв’язання різних задач з фізики, математики, економіки та ін. зводиться до відшукання невідомої функції з рівняння, яке містить незалежну змінну, невідому функцію і її похідні та диференціали. Таке рівняння називається диференціальним.

Означення 1. Рівняння, яке пов’язує незалежну змінну, невідому функцію і її похідні та диференціали називається звичайним диференціальним рівнянням.

Завдання 1. Серед наведених рівнянь назвіть ті , які є диференціальними.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.; 6..

Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, яка входить в це рівняння.

Так, в загальному вигляді, рівняння є рівнянням першого порядку, рівняння є рівнянням другого порядку, рівняння є рівнянням го порядку.

Завдання 2. Визначити порядок рівнянь із завдання 1.

Крім звичайних диференціальних рівнянь існують також рівняння в частинних похідних, де невідома функція є функцією декількох змінних.

Означення 3. Рішенням диференціального рівняння називається будь – яка функція, що задовольняє заданому рівнянню.

Приклад 1. Для рівняння одним з рішень є функція , тому що і тоді рівність є вірною. Але це рішення не єдине. Будь – яка функція , де довільні константи, також є рішенням даного рівняння (переконайтеся в цьому самостійно). Отже, рішенням рівняння другого порядку є функція, яка містить дві довільні константи (або не містить їх). В цьому розумінні функція називається загальним рішенням рівняння, а функція – його частинним рішенням.

Означення 4. Функція називається загальним рішенням диференціального рівняння , якщо вона задовольняє рівнянню за будь – яких значень довільних констант .

Якщо невідома функція аргументу задана неявно рівністю , то така функція називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення 5. Частинним рішенням (частинним інтегралом) диференціального рівняння називається рішення , яке може бути отримане із загального при певних значеннях довільних констант .

Для знаходження частинного рішення диференціального рівняння необхідно знайти числові значення довільних констант . Для цього необхідно розв’язати задачу Коші.

Для рівняння задача Коші ставиться таким чином: серед рішень рівняння треба знайти частинне рішення , яке задовольняє початковим умовам