3

Тема 10. анализ таблиц взаимной сопряженности

Взаимосвязи между атрибутивными признаками анализируются на основании таблиц взаимной сопряженности (взаимозависимости). Как пример рассмотрим данные таблицы 10.1, в которой приведены результаты социологического опроса населения относительно намерений участвовать в торгах на рынке ценных бумаг. Тех, кто не боится рисковать, классифицировали как рискованных инвесторов, тех, кто не представляет риска без гарантий – осторожными, а кто риска избегает вообще – нерискованными.

Частоты комбинационного распределения респондентов по возрасту и склонностью к риску концентрируются вокруг диагонали от верхнего левого угла в нижний правый. Среди молодых большинство готово рисковать на рынке ценных бумаг, в средней возрастной группе готов рисковать один из пяти, а половина не представляет риска без гарантий, в третьей возрастной группе на одного осторожного приходится два нерискованных.

Таблица 10.1

Распределение респондентов по возрасту и склонностью к риску

Возраст, х лет	Тип инвестора, у			Итого,
	Рискованные	Осторожные	Нерискованные
16 – 30	24	12	4	40
31 – 50	20	50	30	100
51 и больше	6	18	36	60
Итого,	50	80	70	200

Характер распределения частот, концентрация их вдоль главной диагонали свидетельствуют о наличии стохастической связи¹ между возрастом и склонностью к риску.

Оценка плотности стохастической связи основывается на отклонениях частот условного и безусловного распределений, то есть на отклонениях фактических частот от теоретических , пропорциональных к итоговым:

(10.1)

где – итоговые частоты по признаку х;

– итоговые частоты по признаку у;

– объем совокупности

(10.2)

Если бы склонность к риску не зависела от возраста, то количество рискованных среди молодежи составляло бы:

,

осторожных во второй возрастной группе

,

нерискованных в третьей возрастной группе

Абсолютную величину отклонений фактических частот , от пропорциональных характеризует квадратичная сопряженность Пирсона:

(10.3)

Если стохастическая связь отсутствует, то . Для того, чтобы сделать вывод о существенности связи, необходимо сравнить фактическое значение с уровнем значимости для заданной доверительной вероятности и числа степеней свободы , где и – соответственно количество групп по признакам и .

Критические значения для доверительной вероятности 95% и, соответственно, для уровня значимости 0,05 () приведены в таблице 10.2. В нашем примере для , критическое значение .

Таблица 10.2

Критические значения

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	3,84	5,99	7,81	9,49	11,07	12,59	14,07	15,51	16,92	18,31	19,68	21,03

Рассчитаем фактическое значение по нашим данным.

Фактическое значение значительно превышает критическое и, следовательно, с вероятностью 0,95 существенность связи между возрастом и склонностью к риску доказана.

Относительной мерой тесноты стохастической связи служит коэффициент взаимной сопряженности , который по содержанию идентичен коэффициенту корреляции. Если , то используют формулу Чупрова:

. (10.4)

где и – соответственно количество групп по признакам и .

Если , то предпочтение отдают коэффициенту сопряженности Крамера:

(10.5)

где – минимальное количество групп по признаку или .

Так как при отсутствии связи между признаками , то в этом случае и . При функциональной взаимосвязи коэффициент взаимной сопряженности стремится к единице.

Поскольку в нашем примере , для оценки тесноты связи используем коэффициент взаимной сопряженности Чупрова.

Такое значение коэффициента взаимной сопряженности говорит о наличии умеренной связи между признаками.

Если оба взаимосвязанных признака альтернативные, то есть , то при отсутствии связи произведения диагональных частот одинаковые: . Именно на отклонениях произведений частот основываются характеристики связи:

, (10.6)

(10.7)

В статистической литературе коэффициент для 4-х клеточной таблицы называется коэффициентом контингенции или ассоциации. Очевидно, что по содержанию он идентичен коэффициенту взаимной сопряженности, а с связан функционально: .

С помощью коэффициента контингенции оценим тесноту связи между вредной привычкой курить и болезнями легких (табл. 10.3).

Таблица 10.3

Распределение пациентов клиники по результатам легочных проб

Наличие привычки курить	Результаты легочных проб		Итого
	Аномальные	Нормальные
Курит	20	5	25
Не курит	10	15	25
Итого	30	20	50

Воспользуемся формулой 10.7:

Значение превышает критическое . Наличие связи между курением и заболеваниями легких доказана с вероятностью 0,95.

Для анализа таблиц такого типа используют также отношение перекрестных произведений – отношение шансов.

(10.7)

Отношение шансов характеризует меру относительного риска (выигрыша), связанного с фактором .

Рассчитаем отношение шансов для курящих и некурящих пациентов.

.

Таким образом, вероятность легочных заболеваний у тех, кто курит в 6 раз выше, в сравнении с теми, кто не курит.

Методы анализа таблиц взаимной сопряженности можно использовать и для количественных признаков. Любые технические препятствия отсутствуют. Однако следует помнить, что коэффициент сопряженности оценивает лишь согласованность фактического распределения с пропорциональным. Если переставить строки или столбцы значения коэффициента не изменится. Меры плотности корреляционной связи – коэффициент детерминации и корреляционное отношение оценивают не только согласованность частот, но и порядок, последовательность, в которой объединяются разные значения признаков. Следовательно, эти характеристики связи более мощные. А в целом выбор метода измерения связи и характеристик его тесноты должен основываться на теоретическом анализе сути явлений, характера взаимосвязей на основе имеющейся информации.

1 При стохастической связи причинная зависимость между факторными и результативными признаками проявляется не в каждом отдельном случае, а лишь при большом числе наблюдений, т.е. с изменением одной величины меняется распределение другой.