Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дискретная математика - Лабораторная работа 1

.pdf
Скачиваний:
134
Добавлен:
26.03.2015
Размер:
616.17 Кб
Скачать

Лабораторная работа №1 МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА

Цель: Ознакомиться с теорией множеств и свойствами множеств.

Множество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики.

Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например, в формулировке Георга Кантора:

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества. Множества чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, его элементы — строчными. Если а — элемент множества А, то записывают а А (а принадлежит А). Если а не является элементом множества А, то записывают а А (а не принадлежит А). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и в множестве не может быть двух идентичных элементов. Иначе говоря, добавление к множеству элементов, идентичных уже принадлежащим множеству, не меняет его: {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11, 6}.

Два множества и могут вступать друг с другом в различные отношения.

включено (является подмножеством) , если каждый элемент

множества принадлежит также и множеству :

включает , если включено в :

равно , если и включены друг в друга:

строго включено в , если включено в , но не равно ему:

строго включает , если строго включено в :

и не пересекаются, если у них нет общих элементов:

и не пересекаются

и находятся в общем положении, если существует элемент,

принадлежащий исключительно множеству , элемент, принадлежащий исключительно множеству , а также элемент, принадлежащий обоим множествам:

и находятся в общем положении

Пусть U (так же обозначается E) некоторое множество, содержащее все элементы, которые могут быть использованы в некоторый момент их рассмотрения. Такое множество назовем универсальным.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .

Операции над множествами:

Объединение:

обозначается как — множество, содержащее все элементы из

и ,

A B = { x | x A x B }

Пересечение:

обозначается как — множество из элементов, содержащихся как в , так и в ,

A B = { x | x A x B }

Непересекающиеся множества:

обозначается как A B . Объединение множеств в случае когда множества А и В не пересекаются

A B A B

Разность:

обозначается как A/B, реже — множество элементов , не входящих в ,

A/B = { x | x A x B }

дополнение, обозначается как

или

— множество всех

элементов, не входящих в

системах, использующих

универсальное множество),

 

 

Симметрическая разность:

обозначается как — множество элементов, входящих только в одно из множеств — или .

A B = { x | x A x B }

Дополнение (отрицание):

обозначается как или — множество всех элементов, не входящих в A (в системах, использующих универсальное множество),

A = { x | x A }

Задание

Удалив из множеств A, B, C и D указанные элементы записать множества, полученные после выполнения операций над множествами,

указанными в задании.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полагаем, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U = A B C D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

 

 

 

 

 

 

 

C = { 11, 12, 13, 14, 15, 16 }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D = { 1, 2, 3, 4, 14, 15, 16 }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

C

D

 

Операции

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B, A (B C),

 

1.1.

1, 2

9, 10

 

13, 14

15, 16

 

 

 

B \

 

 

 

 

 

 

 

 

11, 12,

 

 

A \ B, A (

C ),

 

1.2.

1, 3

9, 12

 

1, 2

 

 

 

\ C

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ B, A (

C ),

 

1.3.

1, 5

11, 13

 

12, 13

1, 2, 3

 

A (

\ C )

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 2, 3,

 

A B, A (B

),

 

1.4.

1, 7

12, 13

 

15, 16

 

(A

 

( B

)

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B, A ( B

),

 

 

 

1.5.

1, 8

7, 13

 

12, 13

3, 4, 14

 

( A

 

) ( B C )

 

1.6.

2, 5

4, 6

 

14, 15,

4, 14

 

 

, A \ ( B C ),

 

 

16

 

( A

 

) ( B

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.7.

2, 7

4, 8

 

11, 12,

2, 16

 

A

, A \ ( B

),

 

 

13

 

( A

 

) ( A

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A B,

\ ( B \ C ),

 

1.8.

2, 8

4, 9

 

14, 16

3, 15

 

( B

 

) (C

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

\ ( B \ C ),

 

1.9.

4, 5

4, 10

 

11, 12

4, 14

 

( A

 

) ( C

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

, A \

 

,

 

1.10.

4, 7

4, 11

 

13, 14

14, 15

 

( A B) ( B

)

 

 

 

 

 

 

14, 15,

 

 

C,

 

 

 

 

1.11.

4, 8

4, 12

 

14, 16

 

( B

 

) ( D

)

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A C,

\ ( B C ),

 

1.12.

5, 6

1, 13

 

11, 12,

1, 2, 4

 

( B C ) ( D A )

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14, 15,

 

A

, D (

\ B )

1.13.

5, 7

5, 6, 7

1, 4, 14

( B

) ( C

)

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 5, 6,

 

 

B C, D ( A \

) ),

 

1.14.

5, 8

12, 13

2, 4, 15

( A

) ) (

D )

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 5, 6,

 

3, 14,

B C,

 

) ( C \

),

 

1.15.

6, 8

15, 16

( A \ B ) ( C

)

 

7, 8

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B , B ( A \

),

 

1.16.

7, 8

5, 6, 9

13, 14

2, 14

( ) \ A ) ( C

)

 

 

 

 

 

 

)

, A ( B \

),

 

1.17.

1, 3

10, 11

14, 15

2, 3, 4

( B \ A ) (

D )

 

 

10, 11,

 

 

A ,

 

 

 

 

1.18.

2, 5

11, 12

14, 15

( C \ A ) ( D )

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11, 12,

 

 

A

, C ( B \

),

 

1.19.

3, 6

12, 16

3, 15

( C

) ( D

) )

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, C ( B \

),

 

1.20.

4, 7

6, 11

11, 15

1, 2, 4

( C \ A ) (

 

)

 

 

 

 

 

Задание 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A D, D \ ( A \

) ),

 

2.1.

5, 8

7, 12

13, 16

2, 3, 4

( A \ C) ( A \

)

 

 

 

5, 11,

 

14, 15,

A

, D \ (

\

),

 

2.2.

1, 2

13, 15

( B \ D ) (D \ B )

12

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 5,

 

 

B D,

 

( B

),

 

2.3.

3, 4

14, 16

15, 16

( A \ B ) ( B \ A )

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14, 15,

B

, D ( B \ C ),

2.4.

2, 6

4, 12

12, 15

( A \ B ) (

\ A )

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 2, 3,

B

, A \ ( B

),

 

2.5.

3, 6

10, 11

12, 16

( A \

) ( B \

)

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B D, ( A \

)

,

 

2.6.

5, 6

8, 10

11, 15

4, 14

( C \ A )

 

 

 

 

 

 

 

9, 10,

 

 

B D,

\ C \ D,

2.7.

5, 7

11, 16

3, 4, 14

( D \ B )

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10, 11,

11, 12,

 

B

, C \

\

,

2.8.

6, 7

2, 3, 15

 

( C \ B )

 

 

12

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11, 12,

11, 12,

1, 2, 3,

C D, C (

\ D ),

2.9.

2, 8

 

( A

) \ C

 

13

13

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10, 11,

 

2, 3,14,

C

, ( C \ D ) A,

2.10.

7, 8

14, 15

 

(

B ) \

 

 

12

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

, A \ ( B

),

2.11.

1, 2

9, 10

11, 13

14, 16

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

, A ( B \

),

2.12.

4, 8

4, 12

14, 15

14, 16

( B C )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 5, 6,

 

 

C, B ( C \ D ),

2.13.

5, 8

12, 13

2, 4, 15

 

( B

) \ C

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

, C ( B \

),

2.14.

1, 3

10, 11

14, 15

2, 3, 4

( C A )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11, 12,

 

 

A , A\( B

),

2.15.

3, 6

12, 16

3, 15

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4, 5,

 

 

 

, A (

\ C ),

2.16.

3, 4

14, 16

15, 16

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, 2, 3,

A

,

( D \

),

2.17.

3, 6

10, 11

12, 16

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9, 10,

 

 

 

 

, B (

\ D ),

2.18.

5, 7

11, 16

3, 4, 14

 

( B \ A )

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10, 11,

11, 12,

 

 

,

\ ( B D),

2.19.

6, 7

2, 3, 15

A (

C )

 

12

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10, 11,

 

2, 3,14,

 

 

 

,

 

 

2.20.

7, 8

14, 15

\ (C \ D ), A (

C)

12

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание отчета

1.Тема, номер лабораторной работы

2.Выполненное задание

3.Выводы