Диффузия. Тема 4

Cp b0 b1Re b2R1 b3R2 b11Re2 b22R12 b33R22

b12ReR1 b13ReR2 b23R1R2 .

где b0 … b23 - коэффициенты уравнения функции отклика. Экспериментальные значения концентрации примесного ве-

щества имеют систематическую и случайную погрешность. Превалирующей является случайная, систематическая сведена к минимуму предварительными тарировками датчика концентрации, поэтому для расчета коэффициентов функции отклика использовался метод наименьших квадратов, что соответствует максимальному правдоподобию полученного уравнения. Отметим, что в силу ортогональности матрицы планирования коэффициенты уравнения определяются независимо друг от друга. При различной достоверности определения концентрации в выбранных экспериментальных точках может быть использована Паде-аппроксимация [56, 57]. Суть ее сводится к следующему. Из экспериментальных точек, полученных на физической модели, выбирают К опорных (К – число коэффициентов функции отклика, подлежащих определению). Строят рациональную аппроксиманту, проходящую через все К точек (этот процесс обычно не вызывает затруднений и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений). После этого для всех точек матрицы планирования вычисляют значение минимизируемого функционала. Его минимальное или максимальное значение (в зависимости от решаемой задачи) принимают за начальное приближение. Затем начинается итерационный процесс, на каждом шаге которого одна из опорных точек заменяется другой из матрицы планирования. Строится новая аппроксиманта, для нее вычисляется значение функционала и т.д. Принципиальная сходимость такой итерационной процедуры очевидна, т.к. число вариантов перебора конечно. Характеристики итерационного процесса слабо зависят от начального выбора опорных точек. К достоинству метода дискретной оптимизации (по сравнению с методом наименьших квадратов) можно отнести возможность без каких либо затруднений вводить различные функции отклика, разнообразные минимизируемые функционалы. При надлежащем выборе критерия, метод дискретной оптимизации для отмеченных выше условий является более приемлемым.

121

Рис. 3.11. Линии уровня функции отклика

После обработки опытных данных уравнение функции отклика получено в виде

Cp 1,2194 0,0065Re 0,0348R1 0,0106R2

0,0141Re2 0,1565R12 0,2139R22

9,3689 10 6ReR1 0,0025ReR2 0,0150R1R2 .

Благодаря нормированию факторов и ортогональности матрицы планирования, дисперсии и доверительные интервалы для всех коэффициентов функции отклика получаются равными.

Коэффициент уравнения значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала. Чем уже доверительный ин-

122

тервал, тем с большей уверенностью можно говорить о значимости коэффициента. Такая проверка значимости коэффициентов уравнения функции отклика позволила его несколько упростить

Cp 1,219 0,035R1 0,157R12 0,214R22. (3.6)

На рис. 3.11 и 3.12 соответственно показаны линии уровня функции отклика и ее изображение в трехмерном пространстве. Как можно заметить, полученное уравнение функции отклика соответствует эллиптическому параболоиду.

Найдем экстремум поверхности из системы уравнений

Cp 0, Cp 0.R1 R2

Максимальное значение концентрации составляет Cp max =1,221 при

R1 =-0,11 и R2 =0.

Для проверки адекватности как математической, так и аппроксимационной моделей использован критерий Фишера [51, 52]. Табличные значения критерия Фишера составляют для аппроксимационной модели Fтабл= 2,21, для математической модели Fтабл= 1,7, расчетные значения критерия Фишера F равны соответственно 1,8 и 0,6, что говорит об адекватности как математической модели, так и полученной функции отклика (при доверительной вероятности 0,95).

Предварительный анализ полученных результатов показал, что распределение концентрации примесного вещества практически не зависит от числа Рейнольдса. Этот результат можно объяснить тем, что с одной стороны увеличение скорости транспортирующего газа (увеличение числа Рейнольдса) ведет к увеличению степени турбулентности, с другой стороны сокращается время прохождения частицы от источника примеси к точке замера. Этот вывод хорошо согласуется с данными, приведенными в работе [50].

123

Функция отклика практически симметрична относительно центра трубопровода и имеет максимум в его центре. Такой результат объясняется тем, что в расчет введены средние во времени значения концентрации в каждой точке замера (ранее отмечалось наличие вращательного движения газа в трубопроводе). Наличие максимума концентрации в центре трубопровода не противоречит экспериментальным данным, имеющимся в литературе [50], где отмечено, что при пневмотранспорте мелкозернистого материала твердые частицы в большей степени воспринимают турбулентные пульсации газа, поэтому концентрационный профиль близок к скоростному профилю газа.

Особого внимания заслуживает оценка радиуса средней концентрации примеси в потоке. Согласно теоретическим положениям, установленным в п. 3.3, для экспериментального канала диаметром 200 мм данный радиус должен составлять 62 мм. На основания опыта точки в поперечном сечении канала, соответствующие средней кон-

Рис. 3.13. Линии средней концентрации в поперечном сечении

124

центрации, можно установить из функции отклика (3.6), подставив Cp =1. На рис. 3.13 сопоставлена теоретическая окружность 1 и кривая

2, установленная по опытным данным, соответствующие среднему значению концентрации примеси. Как видно, результаты удовлетворительно согласуются между собой, а имеющееся расхождение можно объяснить как и погрешностью измерений, так и присутствием в восходящем потоке спиралеобразного движения твердой фазы.

Таким образом, на основании проведенных экспериментов можно утверждать, что получены адекватные, внутренне не противоречивые модели процесса диффузии примесного вещества в турбулентном газовом потоке, которые можно использовать для анализа, прогнозирования распреде-

Важной практической задачей, возникающей при решении вопросов экологического мониторинга, является определение концентрации примесных веществ, выбрасываемых в атмосферу вентиляционными системами промышленных предприятий и атомных станций. Типовая схема замера концентрации радиоактивных аэрозолей на выходе вентиляционной системы энергоблока атомной станции ВВЭР1000 приведена на рис. 3.14.

В вентиляционной трубе 1 имеется внутренний круглый цилиндрический канал 2 диаметром 1,6 м и внешний кольцевой цилинд-

125

рический канал 3 с наружным диаметром 3,0 м. На выходе трубы (высотная отметка 95 м) установлены в каждом из каналов кольцевые коллекторы 4 (на диаметре 1,0 м) и 5 (на диаметре 2,3 м) с внутренним диаметром 70 мм, имеющие заборные приемники 6. Заборные приемники выполнены в виде вваренных на равных расстояниях в коллектора штуцерах с внутренним диаметром 20 мм. Через каналы отбора пробы 7 и 8 (так называемыми импульсные трубки) посредством нагнетателей 9 и 10 (вакуум-насосы) газовая среда подается комплексу аппаратуры измерений 11 радиоактивности, расположенной на высотной отметке 34 м.

По импульсной трубке с внутренним диаметром 20 мм ваку- ум-насосами обеспечивается стационарный отсос пробы с расходом 20 л/мин. Согласно высотных отметок расстояние от точки отбора пробы до аппаратуры измерений составляет 61 м.

Погрешность замера концентрации аэрозолей зависит от ряда факторов. Основные из них связаны с аэродинамическими и диффузионными процессами, происходящими как в самой вентиляционной трубе, так и импульсной трубке отбора. Остановимся подробнее на их рассмотрении.

1.Величина концентрации зависит от основного расхода газа в вентиляционной системе. Погрешность определения этой величины не рассматривается в данной монографии. Предыдущие работы авторов [58, 59] позволяют достаточно точно ее рассчитать и дать рекомендации по сведению к минимуму ее величины. В дальнейшем будем полагать, что погрешность определения основного расхода газа в вентиляционной трубе пренебрежимо мала.

2.Для получения достоверного результата измерения необходимо, чтобы разница в концентрациях и распределении размеров частиц

восновном потоке вентиляционной трубы и пробе была как можно меньшей. Разница обусловлена аэродинамическими явлениями, происходящими у входного отверстия системы пробоотбора.

При заборе пробы из основного потока необходимо осуществить «изокинетическое» течение на входе в импульсную трубку, т.е. течение без искажений линий тока. Если заборный штуцер будет расположен под углом к направлению потока (рис. 3.15а), то некоторые частицы благодаря инерционным силам будут осаждаться на внутреннюю стенку импульсной трубки, и концентрация аэрозолей в пробе будет ниже действительной.

126

Рис. 3.15. Организация пробоотбора

Если заборный штуцер расположен параллельно потоку, но скорость течения в нем больше (рис. 3.15б) или меньше (рис. 3.15в), чем в основном потоке, то во втором случае в к контрольному прибору не попадут частицы из крайних входящих в нее линий тока, а в первом – в нее попадут частицы из соседних проходящих вне ее линий тока. Таким образом, концентрация аэрозоля не будет соответствовать ее значению в основном потоке. При правильном («изокинетическом») заборе пробы скорости основного потока на входе в заборный штуцер должны быть одинаковы. Кроме того, стенки входного отверстия должны быть достаточно тонкие, чтобы с одной стороны можно было пренебречь осаждением частиц на торце штуцера, а с другой стороны избежать сужения потока на его входе.

Отметим, что последнее условие конструктивно выполнить достаточно сложно, так как на искажение линий тока влияет также длина штуцера, условие соединения его с кольцевым коллектором, диаметр кольцевого коллектора и расстояние между ним и приемным отверстием штуцера. В идеальном случае толщина стенок штуцера должна быть равна нулю, расстояние между коллектором и приемным отверстием 2. . 3 диаметра коллектора, а скорость газа в штуцере равна скорости основного потока. Если на практике это условие выполнить нельзя, «изокинетическое» течение можно обеспечить, варьируя величину расхода пробы в импульсной трубке таким образом, чтобы скомпенсировать искажения, вносимые приемным отверстием штуце-

127

ра. Это самостоятельная аэродинамическая задача, которая может быть решена [12].

При выполнении всех перечисленных условий, коэффициент, учитывающий эффективность засасывания дисперсионной фазы в пробоотборную трубку, который мы обозначим K0, будет близок к единице.

Расход основного потока газа в нормальном режиме эксплуатации энергоблока ВВЭР-1000 составляет 90000 м3/ч, что соответствует скорости газа в сечении внутренней цилиндрической трубы, где установлен коллектор отбора пробы, 12,4 м/с. Расход вакуумной установки 20 л/мин, внутренний диаметр входного сечения приемного штуцера 10 мм, их количество 5. Скорость газа в приемном отверстии штуцера равна 0,85 м/с. Это гораздо меньше скорости газового потока в вентиляционной трубе, имеет место нарушение «изокинетичности» при заборе пробы и может привести к появлению погрешности.

3. Распределение примесных частиц, в частности аэрозоля, на входе в вентиляционную трубу неравномерное. Затем, по мере движения газа по вентиляционной трубе, поле концентрации благодаря диффузионным процессам выравнивается. Пробоотбор осуществляется на определенном диаметре (рис. 3.14) и погрешность определения концентрации, вызванную неравномерным ее распределением по сечению вентиляционной трубы будем учитывать коэффициентом K1.

Правильное расположение приемных штуцером в вентиляционной трубе дает значение этого коэффициента 1 (эта задача решена ранее, см. п. 3.2-3.3, как для точечного источника в начале вентиляционной трубы, так и кругового). Геометрические параметры схемы отбора пробы для энергоблока ВВЭР-1000 позволяют допустить К1=1 с погрешностью не более 5%.

4. По мере движения пробы по импульсной трубке происходит оседание аэрозолей на ее стенках. Коэффициент К2, учитывающий осаждение аэрозоля, можно оценить согласно выражений (1.22, 1.23)

C/C0 = 0,82 e-3.66 +0,097 e-22.2 +0,0135 e-53 , 0,03 ,

в которых безразмерный параметр будет определяться, как

128

Для энергоблока ВВЭР-1000 длина импульсной трубки l=61 м; внутренний радиус трубки r0=0,01 м; средняя скорость потоке в трубке определяется через расход Q=20 л/мин, отсасываемый вакуум-насосом,

Таким образом, максимальная погрешность измерения концентрации аэрозоля в основном потоке газа может быть установлена через произведение коэффициента К0, учитывающего эффективность засасывания дисперсной фазы в пробоотборную трубку; коэффициента К1, учитывающего распределение концентрации дисперсной фазы по сечению вентиляционной трубы в месте отбора пробы, коэффициента К2; учитывающего осаждение аэрозоля на стенки импульсной трубки

=1-К0К1К2. (3.9)

Эксперименты по определению размеров частиц показали, что для энергоблоков ВВЭР-1000 распределение частиц аэрозоля хорошо описывается нормально-логарифмическим законом со средним диаметром частицы 21,4 мкм и стандартным отклонением 2,2 мкм

[60].

Режим течения газа в пробоотборной трубке определяется числом Рейнольдса

Здесь =1,5.10-5 м2/с – кинематическая вязкость воздуха при температуре 20 0С.

Так как режим течения ламинарный, диффузионные процессы определяются молекулярной диффузией и диффузией броуновского

129

движения. Оценка коэффициентов диффузии согласно методик, подробно изложенных в п. 2.5, показывает большую значимость броуновского движения и позволяет принять значение эффективного коэффициента диффузии для частиц аэрозоля указанного выше диаметра, равным DE=1,11.10-12 м2/с. В соответствии с выражением (3.8) получаем

1,11 10 11 61 6,4 10 7 , 0,012 1,06

а на основании (3.7) коэффициент осаждения аэрозоля (как коэффициент проскока частицы диаметром 21,4 мкм)

K2 1 2,57 6,4 10 7 0,66 0,9998.

На действующих энергоблоках ВВЭР-1000 отношение концентрации радиоактивного аэрозоля, прошедшего пробоотборную трубку, к концентрации аэрозоля на входе в трубку определяют на основании существующей методики [60],

K2 K2 a d ,

0

где K2 - коэффициент проскока частицы диаметром ;

a - функция распределения частиц по их размерам.

Коэффициент проскока рассчитывается по следующей громоздкой формуле

где: DE - коэффициент диффузии, см2/с; g - ускорение силы тяжести, см/с2; - кинематическая вязкость газа, см2/с; - динамическая вязкость воздуха, г/см с; r0 - радиус трубки, см; l - длина трубки, см; u0 - средняя скорость газа в трубке, см/с; Re - число Рейнольдса; - аэродинамический диаметр частицы, см; 1 - единичная плотность, равная

130