Диффузия. Тема 4

Рис. 3.4. Зависимость степени равномерности концентрации по сечению от расстояния до источника

На рис. 3.5 показано распределение концентрации молекул по радиусу трубы на расстоянии 10d от плоского кругового источника для различных его размеров, установленное согласно (2.81) при рассмотренных выше исходных данных. Как и следовало ожидать, при увеличении размера источника распределение становится менее неоднородным, а при размере источника, совпадающим с радиусом трубы, распределение полностью однородно. Интересно отметить, что все кривые пересекаются в одной точке, лежащей на расстоянии 0,62 радиуса трубы от ее оси. Это значит, что если датчик концентрации поместить в этой точке, он покажет значение концентрации в однородном потоке, которая устанавливается на значительно больших расстояниях от источника.

Наиболее точную информацию о степени однородности распределения дает величина отношения концентрации у стенок трубы к концентрации на оси. Ее величина изменяется от нуля при полностью

111

неоднородном распределении, до единицы при полностью однородном. Зависимость этой величины от расстояния до источника при различных размерах источника приведена на рис. 3.6. Она позволяет количественно оценить степень однородности распределения. Так, при расстояниях порядка 27,5d, степень однородности превышает 0,9 для всех размеров источника. Отметим, что кривые для размеров источника меньше 0,1 практически совпадают с кривой для 0,1, т. е. при таких размерах источник можно считать точечным.

Качественно характер распределения концентрации в трубе можно представить по рис.3.7, где показаны линии равного уровня концентрации на продольном сечении канала для 2 x 30 для rk 0,6.

Рис.3.6. Зависимость отношения концентрации у стенок к концентрации на оси от расстояния до источника

112

участок вертикального трубопровода 4 и манометры МН1…МН4 для регистрации давления в системе пневмотранспорта. Средний весовой расход катализатора и транспортирующего воздуха измерялись штатными расходомерами, не показанными на схеме.

ции примеси между его обкладками. Схема емкостного датчика приведена на рис. 3.9. Воздух, содержащий примеси, проходит внутри цилиндра 1, который является одной из обкладок конденсатора. Второй обкладкой является проволока 2. В измерительную схему входят высокочастотный усилитель 3 и регистрирующий прибор 4. Емкостной датчик включался в одно из плеч моста. Наличие примеси в транспортируемом воздухе приводило к изменению величины емкости датчика и его емкостного сопротивления, что в свою очередь нарушало равновесие моста. Это изменение поступало на вход усилителя и далее на регистрирующий прибор, показания которого были пропорциональны концентрации примеси в газе.

Теоретический анализ статических и динамических характеристик, предварительная тарировка (с использованием штатного весового метода) показала, что погрешность определения локальной концентрации примеси не превышала 7%.

114

Предварительные эксперименты показали, что даже в одном и том же месте при стационарном течении газа в трубопроводе существуют пульсации концентрации примеси. Кроме того, визуальные наблюдения через прозрачные стенки пневмоподъемника показали, что в восходящем потоке происходит некоторое спиралеобразное движение твердой фазы [50]. Поэтому, рассчитывалось среднее значение концентрации С по времени в каждой точке замера

n

Ci

где n - число экспериментов в данной точке, которое было равно не менее 10.

С целью сокращения числа экспериментов при сохранении достоверности полученных данных был применен метод ортогонального планирования [51]. В общем случае можно выделить следующие типичные задачи планирования эксперимента:

1. Раскрытие механизма явления, т.е. нахождение такого аналитического выражения

y f x1,x2,...xN ,

которое в области возможных значений факторов xi достаточно точно совпадает с известной зависимостью

f x1,x2,...xN .

2.Определение экстремума функции в области ее исследования.

3.Выбор подходящей модели для описания объекта или определение параметров известной функциональной зависимости.

4.Определение адекватности математической модели сложного процесса, при котором проведение физических экспериментов связан с определенными затруднениями.

Вданном случае решалась задача проверки адекватности математической модели процесса диффузии в турбулентном потоке газа.

115

При использовании метода Бокса-Уилсона [52, 53] аппроксимирующая функция представляется в виде степенного ряда, чаще всего используют полином второго порядка:

где b0,bi,bij - коэффициенты полинома.

Процесс планирования эксперимента можно разбить на несколько этапов, часть из которых полностью формализована, а часть основана на эмпирико-интуитивном подходе. Построению плана эксперимента предшествует важный этап принятия именно интуитивных решений по выбору факторов и области планирования. В рассмотрение следует включать все факторы, которые могут влиять на характеристики процесса. Наличие математической модели облегчает как выбор факторов, так и определение области их варьирования.

Выбранные факторы должны быть доступны измерению с точностью примерно на порядок большей, чем измерение выходной величины, кроме того, факторы должны быть независимыми величинами.

Обычно исследование начинается в условиях, когда имеется некоторая априорная информация о процессе, полученная либо из предварительных экспериментов, либо из математической модели. Ее анализ позволяет определить сочетание факторов, соответствующих нулевому (основному) уровню. Построение плана сводится к выбору экспериментальных точек симметричных относительно этого уровня.

Следующий этап – выбор интервала варьирования факторов. При выборе интервала варьирования следует учесть, что он не может быть меньше той ошибки, с которой фиксируется уровень фактора, и не может быть настолько большим, чтобы верхний и нижний уровни оказались за пределами области определения. Во всех случаях, чем ниже точность измерения и чем меньше кривизна поверхности отклика, тем шире должен быть интервал варьирования.

Обычно для упрощения записи условий эксперимента и обработки результатов масштабы по осям выбирают так, чтобы нижний уровень каждого фактора соответствовал –1, верхний +1, а основной – 0. Это достигается с помощью кодирования факторов

116

где xi - кодированное значение фактора; xi - физическое значение фактора; xi0 - основной уровень;

xi - интервал варьирования.

После выбора основного уровня и интервалов варьирования каждого фактора строят план эксперимента.

План эксперимента зависит от поставленной исследователем цели. Если конечной целью является только нахождение точки оптимума на поверхности отклика, применяют планы движения по градиенту [54]. Движение к области оптимума можно осуществить и с помощью симплексного метода планирования. Он дает менее глубокое описание процесса, но зато в условиях высоких шумов и большого числа факторов последовательное симплексное планирование часто позволяет достичь области оптимума быстрее, чем метод движения по градиенту.

При исследованиях экстремальной области часто интерес представляет сама функция отклика, позволяющая найти оптимальное или близкое к нему сочетание факторов. Для этого используют планы, которые реализуют все возможные сочетания уровней факторов (полный факторный эксперимент - ПФЭ). В почти стационарной области каждый фактор варьируется на трех уровнях и число опытов, необходимое для реализации всевозможных сочетаний, равно 3N, где N - число факторов.

При большом числе факторов реализация ПФЭ становится практически невозможной и в этом случае строят планы дробных факторных экспериментов (ДФЭ), представляющие собой дробные реплики полного факторного эксперимента.

Матрицы ПФЭ и ДФЭ обладают рядом свойств: -ортогональность, обеспечивающая независимость оценок коэффициентов уравнения регрессии; -симметричность, обеспечивающая независимость свободного члена уравнения регрессии;

117

-нормировка, обеспечивающая одинаковую дисперсию оценки коэффициентов.

На практике можно значительно упростить регрессионную модель путем поворота координатных осей (преобразование координат). Это позволяет осуществить рототабельное планирование, обеспечивающее погрешность определения выходной величины по уравнению регрессии, зависящую лишь от расстояния точки факторного пространства до центра эксперимента.

Таким образом, стратегия проведения эксперимента должна быть следующей:

1.Разработка математической модели процесса.

2.Выбор факторов, их нулевого уровня, шага варьирования.

3.Нормирование факторов.

4.Составление матрицы проведения эксперимента.

5.Проведение серии физических экспериментов в соответствии с матрицей планирования. В случае необходимости используют рандомизацию последовательности проведения экспериментов.

6.Получение аппроксимационной модели процесса (функции отклика), оценка значимости ее коэффициентов, проверка ее адекватности. При решении поставленной задачи (проверка адекватности математической модели процесса диффузии) этот этап не является обязательным, однако во всех случаях получение функции отклика является полезным, так как дает представление о зависимости выходной величины от каждого из факторов, наличии экстремума в области исследования, взаимном влиянии факторов и т.д.

7.Проверка адекватности математической модели процесса. Этот этап может быть выполнен либо с помощью одного из статистических критериев [55], либо по максимально допустимой ошибке расхождения между математической и аппроксимационной моделями (если адекватность проверяется с использованием аппроксимационной модели).

Рассмотрим изложенную выше методику на примере проверки адекватности математической модели процесса диффузии. Предварительные расчеты на математической модели (см. п. 3.3) позволили определить основные факторы, влияющие на процесс диффузии примесного вещества в турбулентном потоке газ. При заданном расстоянии от источника примеси такими факторами являются координаты точки сечения, в которой определяется концентрация и число Рей-

118

нольдса, от которого зависит степень турбулентности газового потока. Кроме того, поверхность отклика близка к параболоиду вращения с центром симметрии на оси трубопровода, поэтому использовано ротатабельное планирование второго порядка, причем шаг варьирования по координате не должен превышать радиуса трубопровода.

Скорость газа в трубопроводе при нормальном эксплуатационном режиме составляет величину примерно 20 м/с, шаг варьирования был выбран равным 5 м/с. Численные значения физических параметров, использованные при проведении эксперимента, приведены в табл. 3.1.

Табл. 3.1 - Значения варьируемых параметров

Матрица планирования приведена в табл. 3.2.

Табл. 3.2 - Матрица планирования эксперимента

119

Cp CC0 , определяемая как отношение текущей усредненной во

времени концентрации замеренной датчиком С, к ее среднему значению С0, рассчитанному по показаниям расходомеров примеси и газа:

120